Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5296 / 2863
↖ ↑ ↗
← N 81.441772°
W121.816406°		 ← 181.80 m → N 81.441772°
W121.805420°		 →
↑
181.83 m
↓
↑
181.83 m
↓
N 81.440137°
W121.816406°		 ← 181.83 m →
33 059 m²		 N 81.440137°
W121.805420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161636352539062 y=0.0873870849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161636352539062 × 215)
    floor (0.161636352539062 × 32768)
    floor (5296.5)     		tx = 5296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0873870849609375 × 215)
    floor (0.0873870849609375 × 32768)
    floor (2863.5)     		ty = 2863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5296 / 2863 ti = "15/5296/2863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5296/2863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5296 ÷ 215
    5296 ÷ 32768     		x = 0.16162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2863 ÷ 215
    2863 ÷ 32768     		y = 0.087371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16162109375 × 2 - 1) × π
    -0.6767578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.12609737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.087371826171875 × 2 - 1) × π
    0.82525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.59261927905112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12609737} λ = -2.12609737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59261927905112))-π/2
    2×atan(13.3647317599279)-π/2
    2×1.49611169701352-π/2
    2.99222339402703-1.57079632675     		φ = 1.42142707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12609737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.816406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42142707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.441772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5296 KachelY 2863 -2.12609737 1.42142707 -121.816406 81.441772
    Oben rechts KachelX + 1 5297 KachelY 2863 -2.12590562 1.42142707 -121.805420 81.441772
    Unten links KachelX 5296 KachelY + 1 2864 -2.12609737 1.42139853 -121.816406 81.440137
    Unten rechts KachelX + 1 5297 KachelY + 1 2864 -2.12590562 1.42139853 -121.805420 81.440137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42142707-1.42139853) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dl = 181.828339999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42142707-1.42139853) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dr = 181.828339999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12609737--2.12590562) × cos(1.42142707) × R
    0.000191749999999935 × 0.148814442150133 × 6371000     		do = 181.797563497396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12609737--2.12590562) × cos(1.42139853) × R
    0.000191749999999935 × 0.14884266430057 × 6371000     		du = 181.832040784089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42142707)-sin(1.42139853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148814442150133-0.14884266430057)×R²
    abs(-2.12590562--2.12609737)×2.82221504370739e-05×R²
    0.000191749999999935×2.82221504370739e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.82221504370739e-05×40589641000000     		ar = 33059.0836626916m²