Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5296 / 11470
↖ ↑ ↗
← S 58.240164°
W 63.632812°		 ← 1 286.01 m → S 58.240164°
W 63.610840°		 →
↑
1 285.80 m
↓
↑
1 285.80 m
↓
S 58.251727°
W 63.632812°		 ← 1 285.59 m →
1 653 276 m²		 S 58.251727°
W 63.610840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.323272705078125 y=0.700103759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.323272705078125 × 214)
    floor (0.323272705078125 × 16384)
    floor (5296.5)     		tx = 5296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700103759765625 × 214)
    floor (0.700103759765625 × 16384)
    floor (11470.5)     		ty = 11470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5296 / 11470 ti = "14/5296/11470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5296/11470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5296 ÷ 214
    5296 ÷ 16384     		x = 0.3232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11470 ÷ 214
    11470 ÷ 16384     		y = 0.7000732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3232421875 × 2 - 1) × π
    -0.353515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.11060209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7000732421875 × 2 - 1) × π
    -0.400146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25709725563635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.11060209} λ = -1.11060209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25709725563635))-π/2
    2×atan(0.284478597807295)-π/2
    2×0.277156858040612-π/2
    0.554313716081225-1.57079632675     		φ = -1.01648261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.11060209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.632812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01648261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.240164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5296 KachelY 11470 -1.11060209 -1.01648261 -63.632812 -58.240164
    Oben rechts KachelX + 1 5297 KachelY 11470 -1.11021860 -1.01648261 -63.610840 -58.240164
    Unten links KachelX 5296 KachelY + 1 11471 -1.11060209 -1.01668443 -63.632812 -58.251727
    Unten rechts KachelX + 1 5297 KachelY + 1 11471 -1.11021860 -1.01668443 -63.610840 -58.251727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01648261--1.01668443) × R
    0.000201820000000019 × 6371000     		dl = 1285.79522000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01648261--1.01668443) × R
    0.000201820000000019 × 6371000     		dr = 1285.79522000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.11060209--1.11021860) × cos(-1.01648261) × R
    0.000383489999999931 × 0.526359903759825 × 6371000     		do = 1286.01030172875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.11060209--1.11021860) × cos(-1.01668443) × R
    0.000383489999999931 × 0.52618829319023 × 6371000     		du = 1285.591020247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01648261)-sin(-1.01668443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526359903759825-0.52618829319023)×R²
    abs(-1.11021860--1.11060209)×0.000171610569594471×R²
    0.000383489999999931×0.000171610569594471×6371000²
    0.000383489999999931×0.000171610569594471×40589641000000     		ar = 1653276.34938278m²