Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52959 / 26083
↖ ↑ ↗
← N 34.438629°
E110.912476°		 ← 503.74 m → N 34.438629°
E110.917969°		 →
↑
503.82 m
↓
↑
503.82 m
↓
N 34.434098°
E110.912476°		 ← 503.76 m →
253 799 m²		 N 34.434098°
E110.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808097839355469 y=0.398002624511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808097839355469 × 216)
    floor (0.808097839355469 × 65536)
    floor (52959.5)     		tx = 52959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398002624511719 × 216)
    floor (0.398002624511719 × 65536)
    floor (26083.5)     		ty = 26083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52959 / 26083 ti = "16/52959/26083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52959/26083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52959 ÷ 216
    52959 ÷ 65536     		x = 0.808090209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26083 ÷ 216
    26083 ÷ 65536     		y = 0.397994995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808090209960938 × 2 - 1) × π
    0.616180419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93578788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.397994995117188 × 2 - 1) × π
    0.204010009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.640916347920151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93578788} λ = 1.93578788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.640916347920151))-π/2
    2×atan(1.89821951208892)-π/2
    2×1.08593189117523-π/2
    2.17186378235046-1.57079632675     		φ = 0.60106746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93578788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.912476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60106746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.438629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52959 KachelY 26083 1.93578788 0.60106746 110.912476 34.438629
    Oben rechts KachelX + 1 52960 KachelY 26083 1.93588375 0.60106746 110.917969 34.438629
    Unten links KachelX 52959 KachelY + 1 26084 1.93578788 0.60098838 110.912476 34.434098
    Unten rechts KachelX + 1 52960 KachelY + 1 26084 1.93588375 0.60098838 110.917969 34.434098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60106746-0.60098838) × R
    7.90800000000091e-05 × 6371000     		dl = 503.818680000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60106746-0.60098838) × R
    7.90800000000091e-05 × 6371000     		dr = 503.818680000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93578788-1.93588375) × cos(0.60106746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.824732411546601 × 6371000     		do = 503.73647049526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93578788-1.93588375) × cos(0.60098838) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.824777130539594 × 6371000     		du = 503.763784309266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60106746)-sin(0.60098838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824732411546601-0.824777130539594)×R²
    abs(1.93588375-1.93578788)×4.47189929927427e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47189929927427e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47189929927427e-05×40589641000000     		ar = 253798.724370133m²