Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52954 / 102263
↖ ↑ ↗
← S 70.487319°
W 34.557495°		 ← 102.02 m → S 70.487319°
W 34.554748°		 →
↑
102 m
↓
↑
102 m
↓
S 70.488236°
W 34.557495°		 ← 102.01 m →
10 405 m²		 S 70.488236°
W 34.554748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404010772705078 y=0.780208587646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404010772705078 × 217)
    floor (0.404010772705078 × 131072)
    floor (52954.5)     		tx = 52954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780208587646484 × 217)
    floor (0.780208587646484 × 131072)
    floor (102263.5)     		ty = 102263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52954 / 102263 ti = "17/52954/102263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52954/102263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52954 ÷ 217
    52954 ÷ 131072     		x = 0.404006958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102263 ÷ 217
    102263 ÷ 131072     		y = 0.780204772949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404006958007812 × 2 - 1) × π
    -0.191986083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60314207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780204772949219 × 2 - 1) × π
    -0.560409545898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.7605785123458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60314207} λ = -0.60314207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7605785123458))-π/2
    2×atan(0.171945362529435)-π/2
    2×0.17028026807294-π/2
    0.340560536145881-1.57079632675     		φ = -1.23023579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60314207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.557495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23023579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.487319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52954 KachelY 102263 -0.60314207 -1.23023579 -34.557495 -70.487319
    Oben rechts KachelX + 1 52955 KachelY 102263 -0.60309413 -1.23023579 -34.554748 -70.487319
    Unten links KachelX 52954 KachelY + 1 102264 -0.60314207 -1.23025180 -34.557495 -70.488236
    Unten rechts KachelX + 1 52955 KachelY + 1 102264 -0.60309413 -1.23025180 -34.554748 -70.488236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23023579--1.23025180) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dl = 101.999709999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23023579--1.23025180) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dr = 101.999709999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60314207--0.60309413) × cos(-1.23023579) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33401548840066 × 6371000     		do = 102.016927716166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60314207--0.60309413) × cos(-1.23025180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334000397850807 × 6371000     		du = 102.01231867381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23023579)-sin(-1.23025180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33401548840066-0.334000397850807)×R²
    abs(-0.60309413--0.60314207)×1.50905498528808e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50905498528808e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50905498528808e-05×40589641000000     		ar = 10405.4619820026m²