Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52954 / 102182
↖ ↑ ↗
← S 70.412873°
W 34.557495°		 ← 102.39 m → S 70.412873°
W 34.554748°		 →
↑
102.38 m
↓
↑
102.38 m
↓
S 70.413794°
W 34.557495°		 ← 102.39 m →
10 483 m²		 S 70.413794°
W 34.554748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404010772705078 y=0.779590606689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404010772705078 × 217)
    floor (0.404010772705078 × 131072)
    floor (52954.5)     		tx = 52954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779590606689453 × 217)
    floor (0.779590606689453 × 131072)
    floor (102182.5)     		ty = 102182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52954 / 102182 ti = "17/52954/102182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52954/102182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52954 ÷ 217
    52954 ÷ 131072     		x = 0.404006958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102182 ÷ 217
    102182 ÷ 131072     		y = 0.779586791992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404006958007812 × 2 - 1) × π
    -0.191986083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60314207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779586791992188 × 2 - 1) × π
    -0.559173583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75669562347658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60314207} λ = -0.60314207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75669562347658))-π/2
    2×atan(0.17261430513816)-π/2
    2×0.170929928516634-π/2
    0.341859857033268-1.57079632675     		φ = -1.22893647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60314207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.557495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22893647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.412873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52954 KachelY 102182 -0.60314207 -1.22893647 -34.557495 -70.412873
    Oben rechts KachelX + 1 52955 KachelY 102182 -0.60309413 -1.22893647 -34.554748 -70.412873
    Unten links KachelX 52954 KachelY + 1 102183 -0.60314207 -1.22895254 -34.557495 -70.413794
    Unten rechts KachelX + 1 52955 KachelY + 1 102183 -0.60309413 -1.22895254 -34.554748 -70.413794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22893647--1.22895254) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dl = 102.381970000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22893647--1.22895254) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dr = 102.381970000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60314207--0.60309413) × cos(-1.22893647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335239903023589 × 6371000     		do = 102.390895458441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60314207--0.60309413) × cos(-1.22895254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335224762906252 × 6371000     		du = 102.3862712769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22893647)-sin(-1.22895254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335239903023589-0.335224762906252)×R²
    abs(-0.60309413--0.60314207)×1.51401173361654e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51401173361654e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51401173361654e-05×40589641000000     		ar = 10482.7448709672m²