Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52953 / 102264
↖ ↑ ↗
← S 70.488236°
W 34.560242°		 ← 102.01 m → S 70.488236°
W 34.557495°		 →
↑
102 m
↓
↑
102 m
↓
S 70.489153°
W 34.560242°		 ← 102.01 m →
10 405 m²		 S 70.489153°
W 34.557495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404003143310547 y=0.780216217041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404003143310547 × 217)
    floor (0.404003143310547 × 131072)
    floor (52953.5)     		tx = 52953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780216217041016 × 217)
    floor (0.780216217041016 × 131072)
    floor (102264.5)     		ty = 102264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52953 / 102264 ti = "17/52953/102264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52953/102264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52953 ÷ 217
    52953 ÷ 131072     		x = 0.403999328613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102264 ÷ 217
    102264 ÷ 131072     		y = 0.78021240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403999328613281 × 2 - 1) × π
    -0.192001342773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.60319001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78021240234375 × 2 - 1) × π
    -0.5604248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76062644924542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60319001} λ = -0.60319001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76062644924542))-π/2
    2×atan(0.171937120199409)-π/2
    2×0.17027226242035-π/2
    0.3405445248407-1.57079632675     		φ = -1.23025180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60319001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.560242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23025180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.488236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52953 KachelY 102264 -0.60319001 -1.23025180 -34.560242 -70.488236
    Oben rechts KachelX + 1 52954 KachelY 102264 -0.60314207 -1.23025180 -34.557495 -70.488236
    Unten links KachelX 52953 KachelY + 1 102265 -0.60319001 -1.23026781 -34.560242 -70.489153
    Unten rechts KachelX + 1 52954 KachelY + 1 102265 -0.60314207 -1.23026781 -34.557495 -70.489153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23025180--1.23026781) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dl = 101.999709999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23025180--1.23026781) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dr = 101.999709999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60319001--0.60314207) × cos(-1.23025180) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.334000397850807 × 6371000     		do = 102.012318674046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60319001--0.60314207) × cos(-1.23026781) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.333985307215343 × 6371000     		du = 102.007709605543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23025180)-sin(-1.23026781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334000397850807-0.333985307215343)×R²
    abs(-0.60314207--0.60319001)×1.50906354639546e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.50906354639546e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.50906354639546e-05×40589641000000     		ar = 10404.9918594587m²