Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52951 / 102165
↖ ↑ ↗
← S 70.397214°
W 34.565735°		 ← 102.47 m → S 70.397214°
W 34.562988°		 →
↑
102.45 m
↓
↑
102.45 m
↓
S 70.398135°
W 34.565735°		 ← 102.46 m →
10 497 m²		 S 70.398135°
W 34.562988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403987884521484 y=0.779460906982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403987884521484 × 217)
    floor (0.403987884521484 × 131072)
    floor (52951.5)     		tx = 52951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779460906982422 × 217)
    floor (0.779460906982422 × 131072)
    floor (102165.5)     		ty = 102165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52951 / 102165 ti = "17/52951/102165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52951/102165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52951 ÷ 217
    52951 ÷ 131072     		x = 0.403984069824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102165 ÷ 217
    102165 ÷ 131072     		y = 0.779457092285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403984069824219 × 2 - 1) × π
    -0.192031860351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.60328588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779457092285156 × 2 - 1) × π
    -0.558914184570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.75588069618304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60328588} λ = -0.60328588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75588069618304))-π/2
    2×atan(0.172755030579386)-π/2
    2×0.171066579039809-π/2
    0.342133158079619-1.57079632675     		φ = -1.22866317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60328588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.565735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22866317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.397214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52951 KachelY 102165 -0.60328588 -1.22866317 -34.565735 -70.397214
    Oben rechts KachelX + 1 52952 KachelY 102165 -0.60323794 -1.22866317 -34.562988 -70.397214
    Unten links KachelX 52951 KachelY + 1 102166 -0.60328588 -1.22867925 -34.565735 -70.398135
    Unten rechts KachelX + 1 52952 KachelY + 1 102166 -0.60323794 -1.22867925 -34.562988 -70.398135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22866317--1.22867925) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dl = 102.445679999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22866317--1.22867925) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dr = 102.445679999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60328588--0.60323794) × cos(-1.22866317) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.335497375393819 × 6371000     		do = 102.469534147885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60328588--0.60323794) × cos(-1.22867925) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.335482227328901 × 6371000     		du = 102.464907538948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22866317)-sin(-1.22867925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335497375393819-0.335482227328901)×R²
    abs(-0.60323794--0.60328588)×1.51480649188129e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.51480649188129e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.51480649188129e-05×40589641000000     		ar = 10497.3241170512m²