Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52949 / 21973
↖ ↑ ↗
← N 50.885709°
E110.857544°		 ← 385.37 m → N 50.885709°
E110.863037°		 →
↑
385.38 m
↓
↑
385.38 m
↓
N 50.882243°
E110.857544°		 ← 385.40 m →
148 519 m²		 N 50.882243°
E110.863037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807945251464844 y=0.335289001464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807945251464844 × 216)
    floor (0.807945251464844 × 65536)
    floor (52949.5)     		tx = 52949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335289001464844 × 216)
    floor (0.335289001464844 × 65536)
    floor (21973.5)     		ty = 21973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52949 / 21973 ti = "16/52949/21973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52949/21973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52949 ÷ 216
    52949 ÷ 65536     		x = 0.807937622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21973 ÷ 216
    21973 ÷ 65536     		y = 0.335281372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807937622070312 × 2 - 1) × π
    0.615875244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.93482914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335281372070312 × 2 - 1) × π
    0.329437255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03495766279701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93482914} λ = 1.93482914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03495766279701))-π/2
    2×atan(2.81498705442285)-π/2
    2×1.22945974297878-π/2
    2.45891948595756-1.57079632675     		φ = 0.88812316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93482914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.857544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88812316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.885709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52949 KachelY 21973 1.93482914 0.88812316 110.857544 50.885709
    Oben rechts KachelX + 1 52950 KachelY 21973 1.93492502 0.88812316 110.863037 50.885709
    Unten links KachelX 52949 KachelY + 1 21974 1.93482914 0.88806267 110.857544 50.882243
    Unten rechts KachelX + 1 52950 KachelY + 1 21974 1.93492502 0.88806267 110.863037 50.882243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88812316-0.88806267) × R
    6.04899999999686e-05 × 6371000     		dl = 385.3817899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88812316-0.88806267) × R
    6.04899999999686e-05 × 6371000     		dr = 385.3817899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93482914-1.93492502) × cos(0.88812316) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.630869356495553 × 6371000     		do = 385.367480102596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93482914-1.93492502) × cos(0.88806267) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.630916288871418 × 6371000     		du = 385.396148813853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88812316)-sin(0.88806267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630869356495553-0.630916288871418)×R²
    abs(1.93492502-1.93482914)×4.69323758648388e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.69323758648388e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.69323758648388e-05×40589641000000     		ar = 148519.133534599m²