Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52949 / 102168
↖ ↑ ↗
← S 70.399978°
W 34.571228°		 ← 102.46 m → S 70.399978°
W 34.568482°		 →
↑
102.45 m
↓
↑
102.45 m
↓
S 70.400899°
W 34.571228°		 ← 102.45 m →
10 496 m²		 S 70.400899°
W 34.568482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403972625732422 y=0.779483795166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403972625732422 × 217)
    floor (0.403972625732422 × 131072)
    floor (52949.5)     		tx = 52949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779483795166016 × 217)
    floor (0.779483795166016 × 131072)
    floor (102168.5)     		ty = 102168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52949 / 102168 ti = "17/52949/102168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52949/102168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52949 ÷ 217
    52949 ÷ 131072     		x = 0.403968811035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102168 ÷ 217
    102168 ÷ 131072     		y = 0.77947998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403968811035156 × 2 - 1) × π
    -0.192062377929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.60338176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77947998046875 × 2 - 1) × π
    -0.5589599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7560245068819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60338176} λ = -0.60338176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7560245068819))-π/2
    2×atan(0.172730188344039)-π/2
    2×0.171042456617758-π/2
    0.342084913235516-1.57079632675     		φ = -1.22871141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60338176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.571228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22871141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.399978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52949 KachelY 102168 -0.60338176 -1.22871141 -34.571228 -70.399978
    Oben rechts KachelX + 1 52950 KachelY 102168 -0.60333382 -1.22871141 -34.568482 -70.399978
    Unten links KachelX 52949 KachelY + 1 102169 -0.60338176 -1.22872749 -34.571228 -70.400899
    Unten rechts KachelX + 1 52950 KachelY + 1 102169 -0.60333382 -1.22872749 -34.568482 -70.400899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22871141--1.22872749) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dl = 102.445679999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22871141--1.22872749) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dr = 102.445679999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60338176--0.60333382) × cos(-1.22871141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335451930938833 × 6371000     		do = 102.455654241355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60338176--0.60333382) × cos(-1.22872749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335436782613693 × 6371000     		du = 102.451027552939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22871141)-sin(-1.22872749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335451930938833-0.335436782613693)×R²
    abs(-0.60333382--0.60338176)×1.51483251403239e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51483251403239e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51483251403239e-05×40589641000000     		ar = 10495.9021765611m²