Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52948 / 102164
↖ ↑ ↗
← S 70.396293°
W 34.573974°		 ← 102.45 m → S 70.396293°
W 34.571228°		 →
↑
102.45 m
↓
↑
102.45 m
↓
S 70.397214°
W 34.573974°		 ← 102.45 m →
10 496 m²		 S 70.397214°
W 34.571228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403964996337891 y=0.779453277587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403964996337891 × 217)
    floor (0.403964996337891 × 131072)
    floor (52948.5)     		tx = 52948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779453277587891 × 217)
    floor (0.779453277587891 × 131072)
    floor (102164.5)     		ty = 102164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52948 / 102164 ti = "17/52948/102164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52948/102164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52948 ÷ 217
    52948 ÷ 131072     		x = 0.403961181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102164 ÷ 217
    102164 ÷ 131072     		y = 0.779449462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403961181640625 × 2 - 1) × π
    -0.19207763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60342969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.55889892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75583275928342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60342969} λ = -0.60342969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75583275928342))-π/2
    2×atan(0.17276331211844)-π/2
    2×0.171074620573412-π/2
    0.342149241146824-1.57079632675     		φ = -1.22864709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60342969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.573974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22864709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.396293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52948 KachelY 102164 -0.60342969 -1.22864709 -34.573974 -70.396293
    Oben rechts KachelX + 1 52949 KachelY 102164 -0.60338176 -1.22864709 -34.571228 -70.396293
    Unten links KachelX 52948 KachelY + 1 102165 -0.60342969 -1.22866317 -34.573974 -70.397214
    Unten rechts KachelX + 1 52949 KachelY + 1 102165 -0.60338176 -1.22866317 -34.571228 -70.397214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22864709--1.22866317) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dl = 102.445679999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22864709--1.22866317) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dr = 102.445679999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60342969--0.60338176) × cos(-1.22864709) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.33551252337199 × 6371000     		do = 102.452785227356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60342969--0.60338176) × cos(-1.22866317) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.335497375393819 × 6371000     		du = 102.448159609991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22864709)-sin(-1.22866317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33551252337199-0.335497375393819)×R²
    abs(-0.60338176--0.60342969)×1.51479781704267e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51479781704267e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51479781704267e-05×40589641000000     		ar = 10495.6083134464m²