Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52940 / 94407
↖ ↑ ↗
← S 61.865216°
W 34.595947°		 ← 144.02 m → S 61.865216°
W 34.593201°		 →
↑
144.05 m
↓
↑
144.05 m
↓
S 61.866511°
W 34.595947°		 ← 144.02 m →
20 746 m²		 S 61.866511°
W 34.593201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403903961181641 y=0.720272064208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403903961181641 × 217)
    floor (0.403903961181641 × 131072)
    floor (52940.5)     		tx = 52940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720272064208984 × 217)
    floor (0.720272064208984 × 131072)
    floor (94407.5)     		ty = 94407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52940 / 94407 ti = "17/52940/94407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52940/94407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52940 ÷ 217
    52940 ÷ 131072     		x = 0.403900146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94407 ÷ 217
    94407 ÷ 131072     		y = 0.720268249511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403900146484375 × 2 - 1) × π
    -0.19219970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60381319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720268249511719 × 2 - 1) × π
    -0.440536499023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.38398622893064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60381319} λ = -0.60381319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38398622893064))-π/2
    2×atan(0.250577699494238)-π/2
    2×0.245522306347309-π/2
    0.491044612694617-1.57079632675     		φ = -1.07975171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60381319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.595947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07975171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.865216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52940 KachelY 94407 -0.60381319 -1.07975171 -34.595947 -61.865216
    Oben rechts KachelX + 1 52941 KachelY 94407 -0.60376525 -1.07975171 -34.593201 -61.865216
    Unten links KachelX 52940 KachelY + 1 94408 -0.60381319 -1.07977432 -34.595947 -61.866511
    Unten rechts KachelX + 1 52941 KachelY + 1 94408 -0.60376525 -1.07977432 -34.593201 -61.866511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07975171--1.07977432) × R
    2.2610000000034e-05 × 6371000     		dl = 144.048310000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07975171--1.07977432) × R
    2.2610000000034e-05 × 6371000     		dr = 144.048310000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60381319--0.60376525) × cos(-1.07975171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.471547330947154 × 6371000     		do = 144.022692499465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60381319--0.60376525) × cos(-1.07977432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.471527392407187 × 6371000     		du = 144.016602756141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07975171)-sin(-1.07977432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471547330947154-0.471527392407187)×R²
    abs(-0.60376525--0.60381319)×1.99385399671237e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99385399671237e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99385399671237e-05×40589641000000     		ar = 20745.7868483754m²