Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52939 / 94408
↖ ↑ ↗
← S 61.866511°
W 34.598694°		 ← 143.99 m → S 61.866511°
W 34.595947°		 →
↑
143.98 m
↓
↑
143.98 m
↓
S 61.867806°
W 34.598694°		 ← 143.98 m →
20 731 m²		 S 61.867806°
W 34.595947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403896331787109 y=0.720279693603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403896331787109 × 217)
    floor (0.403896331787109 × 131072)
    floor (52939.5)     		tx = 52939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720279693603516 × 217)
    floor (0.720279693603516 × 131072)
    floor (94408.5)     		ty = 94408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52939 / 94408 ti = "17/52939/94408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52939/94408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52939 ÷ 217
    52939 ÷ 131072     		x = 0.403892517089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94408 ÷ 217
    94408 ÷ 131072     		y = 0.72027587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403892517089844 × 2 - 1) × π
    -0.192214965820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.60386112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72027587890625 × 2 - 1) × π
    -0.4405517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38403416583026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60386112} λ = -0.60386112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38403416583026))-π/2
    2×atan(0.250565687864113)-π/2
    2×0.245511004327747-π/2
    0.491022008655493-1.57079632675     		φ = -1.07977432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60386112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.598694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07977432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.866511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52939 KachelY 94408 -0.60386112 -1.07977432 -34.598694 -61.866511
    Oben rechts KachelX + 1 52940 KachelY 94408 -0.60381319 -1.07977432 -34.595947 -61.866511
    Unten links KachelX 52939 KachelY + 1 94409 -0.60386112 -1.07979692 -34.598694 -61.867806
    Unten rechts KachelX + 1 52940 KachelY + 1 94409 -0.60381319 -1.07979692 -34.595947 -61.867806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07977432--1.07979692) × R
    2.25999999998727e-05 × 6371000     		dl = 143.984599999189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07977432--1.07979692) × R
    2.25999999998727e-05 × 6371000     		dr = 143.984599999189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60386112--0.60381319) × cos(-1.07977432) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.471527392407187 × 6371000     		do = 143.986561746153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60386112--0.60381319) × cos(-1.07979692) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.47150746244479 × 6371000     		du = 143.980475892378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07977432)-sin(-1.07979692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471527392407187-0.47150746244479)×R²
    abs(-0.60381319--0.60386112)×1.9929962396803e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.9929962396803e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.9929962396803e-05×40589641000000     		ar = 20731.4093645322m²