Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52938 / 11719
↖ ↑ ↗
← N 81.331947°
W 34.601440°		 ← 46.03 m → N 81.331947°
W 34.598694°		 →
↑
46.06 m
↓
↑
46.06 m
↓
N 81.331533°
W 34.601440°		 ← 46.03 m →
2 120 m²		 N 81.331533°
W 34.598694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403888702392578 y=0.0894126892089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403888702392578 × 217)
    floor (0.403888702392578 × 131072)
    floor (52938.5)     		tx = 52938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0894126892089844 × 217)
    floor (0.0894126892089844 × 131072)
    floor (11719.5)     		ty = 11719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52938 / 11719 ti = "17/52938/11719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52938/11719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52938 ÷ 217
    52938 ÷ 131072     		x = 0.403884887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11719 ÷ 217
    11719 ÷ 131072     		y = 0.0894088745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403884887695312 × 2 - 1) × π
    -0.192230224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60390906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0894088745117188 × 2 - 1) × π
    0.821182250976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.57982012685256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60390906} λ = -0.60390906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57982012685256))-π/2
    2×atan(13.19476456236)-π/2
    2×1.49515329595761-π/2
    2.99030659191522-1.57079632675     		φ = 1.41951027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60390906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.601440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41951027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.331947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52938 KachelY 11719 -0.60390906 1.41951027 -34.601440 81.331947
    Oben rechts KachelX + 1 52939 KachelY 11719 -0.60386112 1.41951027 -34.598694 81.331947
    Unten links KachelX 52938 KachelY + 1 11720 -0.60390906 1.41950304 -34.601440 81.331533
    Unten rechts KachelX + 1 52939 KachelY + 1 11720 -0.60386112 1.41950304 -34.598694 81.331533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41951027-1.41950304) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dl = 46.0623300001575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41951027-1.41950304) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dr = 46.0623300001575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60390906--0.60386112) × cos(1.41951027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150709624305456 × 6371000     		do = 46.0305985285856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60390906--0.60386112) × cos(1.41950304) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150716771720994 × 6371000     		du = 46.0327815332656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41951027)-sin(1.41950304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150709624305456-0.150716771720994)×R²
    abs(-0.60386112--0.60390906)×7.14741553869969e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.14741553869969e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.14741553869969e-06×40589641000000     		ar = 2120.32689668812m²