Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52936 / 22170
↖ ↑ ↗
← N 50.198001°
E110.786133°		 ← 391.03 m → N 50.198001°
E110.791626°		 →
↑
391.05 m
↓
↑
391.05 m
↓
N 50.194484°
E110.786133°		 ← 391.06 m →
152 918 m²		 N 50.194484°
E110.791626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807746887207031 y=0.338294982910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807746887207031 × 216)
    floor (0.807746887207031 × 65536)
    floor (52936.5)     		tx = 52936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338294982910156 × 216)
    floor (0.338294982910156 × 65536)
    floor (22170.5)     		ty = 22170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52936 / 22170 ti = "16/52936/22170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52936/22170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52936 ÷ 216
    52936 ÷ 65536     		x = 0.8077392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22170 ÷ 216
    22170 ÷ 65536     		y = 0.338287353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8077392578125 × 2 - 1) × π
    0.615478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.93358278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338287353515625 × 2 - 1) × π
    0.32342529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01607052434671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93358278} λ = 1.93358278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01607052434671))-π/2
    2×atan(2.76231894478506)-π/2
    2×1.22345836136319-π/2
    2.44691672272637-1.57079632675     		φ = 0.87612040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93358278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.786133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87612040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.198001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52936 KachelY 22170 1.93358278 0.87612040 110.786133 50.198001
    Oben rechts KachelX + 1 52937 KachelY 22170 1.93367866 0.87612040 110.791626 50.198001
    Unten links KachelX 52936 KachelY + 1 22171 1.93358278 0.87605902 110.786133 50.194484
    Unten rechts KachelX + 1 52937 KachelY + 1 22171 1.93367866 0.87605902 110.791626 50.194484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87612040-0.87605902) × R
    6.13799999999998e-05 × 6371000     		dl = 391.051979999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87612040-0.87605902) × R
    6.13799999999998e-05 × 6371000     		dr = 391.051979999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93358278-1.93367866) × cos(0.87612040) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.640136500282931 × 6371000     		do = 391.028328599592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93358278-1.93367866) × cos(0.87605902) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.640183654949083 × 6371000     		du = 391.0571330972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87612040)-sin(0.87605902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640136500282931-0.640183654949083)×R²
    abs(1.93367866-1.93358278)×4.71546661516831e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.71546661516831e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.71546661516831e-05×40589641000000     		ar = 152918.034210739m²