Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52936 / 11737
↖ ↑ ↗
← N 81.324493°
W 34.606934°		 ← 46.07 m → N 81.324493°
W 34.604187°		 →
↑
46.06 m
↓
↑
46.06 m
↓
N 81.324079°
W 34.606934°		 ← 46.07 m →
2 122 m²		 N 81.324079°
W 34.604187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403873443603516 y=0.0895500183105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403873443603516 × 217)
    floor (0.403873443603516 × 131072)
    floor (52936.5)     		tx = 52936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0895500183105469 × 217)
    floor (0.0895500183105469 × 131072)
    floor (11737.5)     		ty = 11737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52936 / 11737 ti = "17/52936/11737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52936/11737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52936 ÷ 217
    52936 ÷ 131072     		x = 0.40386962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11737 ÷ 217
    11737 ÷ 131072     		y = 0.0895462036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40386962890625 × 2 - 1) × π
    -0.1922607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60400494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0895462036132812 × 2 - 1) × π
    0.820907592773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.5789572626594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60400494} λ = -0.60400494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5789572626594))-π/2
    2×atan(13.183384183049)-π/2
    2×1.49508824724691-π/2
    2.99017649449382-1.57079632675     		φ = 1.41938017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60400494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.606934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41938017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.324493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52936 KachelY 11737 -0.60400494 1.41938017 -34.606934 81.324493
    Oben rechts KachelX + 1 52937 KachelY 11737 -0.60395700 1.41938017 -34.604187 81.324493
    Unten links KachelX 52936 KachelY + 1 11738 -0.60400494 1.41937294 -34.606934 81.324079
    Unten rechts KachelX + 1 52937 KachelY + 1 11738 -0.60395700 1.41937294 -34.604187 81.324079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41938017-1.41937294) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dl = 46.0623300001575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41938017-1.41937294) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dr = 46.0623300001575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60400494--0.60395700) × cos(1.41938017) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.150838237037113 × 6371000     		do = 46.0698801674322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60400494--0.60395700) × cos(1.41937294) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.150845384310827 × 6371000     		du = 46.0720631287952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41938017)-sin(1.41937294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150838237037113-0.150845384310827)×R²
    abs(-0.60395700--0.60400494)×7.14727371392554e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.14727371392554e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.14727371392554e-06×40589641000000     		ar = 2122.13629967429m²