Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52936 / 102222
↖ ↑ ↗
← S 70.449670°
W 34.606934°		 ← 102.21 m → S 70.449670°
W 34.604187°		 →
↑
102.19 m
↓
↑
102.19 m
↓
S 70.450589°
W 34.606934°		 ← 102.20 m →
10 444 m²		 S 70.450589°
W 34.604187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403873443603516 y=0.779895782470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403873443603516 × 217)
    floor (0.403873443603516 × 131072)
    floor (52936.5)     		tx = 52936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779895782470703 × 217)
    floor (0.779895782470703 × 131072)
    floor (102222.5)     		ty = 102222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52936 / 102222 ti = "17/52936/102222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52936/102222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52936 ÷ 217
    52936 ÷ 131072     		x = 0.40386962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102222 ÷ 217
    102222 ÷ 131072     		y = 0.779891967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40386962890625 × 2 - 1) × π
    -0.1922607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60400494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779891967773438 × 2 - 1) × π
    -0.559783935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75861309946138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60400494} λ = -0.60400494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75861309946138))-π/2
    2×atan(0.172283638477428)-π/2
    2×0.170608811445982-π/2
    0.341217622891965-1.57079632675     		φ = -1.22957870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60400494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.606934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22957870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.449670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52936 KachelY 102222 -0.60400494 -1.22957870 -34.606934 -70.449670
    Oben rechts KachelX + 1 52937 KachelY 102222 -0.60395700 -1.22957870 -34.604187 -70.449670
    Unten links KachelX 52936 KachelY + 1 102223 -0.60400494 -1.22959474 -34.606934 -70.450589
    Unten rechts KachelX + 1 52937 KachelY + 1 102223 -0.60395700 -1.22959474 -34.604187 -70.450589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22957870--1.22959474) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dl = 102.190839999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22957870--1.22959474) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dr = 102.190839999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60400494--0.60395700) × cos(-1.22957870) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.334634767982467 × 6371000     		do = 102.206071640943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60400494--0.60395700) × cos(-1.22959474) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.334619652679041 × 6371000     		du = 102.201455038209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22957870)-sin(-1.22959474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334634767982467-0.334619652679041)×R²
    abs(-0.60395700--0.60400494)×1.51153034262386e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.51153034262386e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.51153034262386e-05×40589641000000     		ar = 10444.2884271574m²