Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52934 / 21723
↖ ↑ ↗
← N 51.744037°
E110.775147°		 ← 378.18 m → N 51.744037°
E110.780640°		 →
↑
378.18 m
↓
↑
378.18 m
↓
N 51.740636°
E110.775147°		 ← 378.21 m →
143 028 m²		 N 51.740636°
E110.780640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807716369628906 y=0.331474304199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807716369628906 × 216)
    floor (0.807716369628906 × 65536)
    floor (52934.5)     		tx = 52934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331474304199219 × 216)
    floor (0.331474304199219 × 65536)
    floor (21723.5)     		ty = 21723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52934 / 21723 ti = "16/52934/21723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52934/21723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52934 ÷ 216
    52934 ÷ 65536     		x = 0.807708740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21723 ÷ 216
    21723 ÷ 65536     		y = 0.331466674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807708740234375 × 2 - 1) × π
    0.61541748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93339104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331466674804688 × 2 - 1) × π
    0.337066650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05892611260704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93339104} λ = 1.93339104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05892611260704))-π/2
    2×atan(2.88327301558634)-π/2
    2×1.23695007493728-π/2
    2.47390014987456-1.57079632675     		φ = 0.90310382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93339104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.775147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90310382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.744037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52934 KachelY 21723 1.93339104 0.90310382 110.775147 51.744037
    Oben rechts KachelX + 1 52935 KachelY 21723 1.93348691 0.90310382 110.780640 51.744037
    Unten links KachelX 52934 KachelY + 1 21724 1.93339104 0.90304446 110.775147 51.740636
    Unten rechts KachelX + 1 52935 KachelY + 1 21724 1.93348691 0.90304446 110.780640 51.740636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90310382-0.90304446) × R
    5.93599999999528e-05 × 6371000     		dl = 378.182559999699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90310382-0.90304446) × R
    5.93599999999528e-05 × 6371000     		dr = 378.182559999699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93339104-1.93348691) × cos(0.90310382) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.619175672246633 × 6371000     		do = 378.184928089763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93339104-1.93348691) × cos(0.90304446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.619222283744068 × 6371000     		du = 378.213397822338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90310382)-sin(0.90304446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619175672246633-0.619222283744068)×R²
    abs(1.93348691-1.93339104)×4.66114974356779e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66114974356779e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66114974356779e-05×40589641000000     		ar = 143028.327678328m²