Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52931 / 22169
↖ ↑ ↗
← N 50.201518°
E110.758667°		 ← 391 m → N 50.201518°
E110.764160°		 →
↑
390.99 m
↓
↑
390.99 m
↓
N 50.198001°
E110.758667°		 ← 391.03 m →
152 882 m²		 N 50.198001°
E110.764160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807670593261719 y=0.338279724121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807670593261719 × 216)
    floor (0.807670593261719 × 65536)
    floor (52931.5)     		tx = 52931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338279724121094 × 216)
    floor (0.338279724121094 × 65536)
    floor (22169.5)     		ty = 22169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52931 / 22169 ti = "16/52931/22169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52931/22169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52931 ÷ 216
    52931 ÷ 65536     		x = 0.807662963867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22169 ÷ 216
    22169 ÷ 65536     		y = 0.338272094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807662963867188 × 2 - 1) × π
    0.615325927734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93310341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338272094726562 × 2 - 1) × π
    0.323455810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01616639814595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93310341} λ = 1.93310341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01616639814595))-π/2
    2×atan(2.76258379149274)-π/2
    2×1.22348904639239-π/2
    2.44697809278478-1.57079632675     		φ = 0.87618177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93310341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.758667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87618177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.201518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52931 KachelY 22169 1.93310341 0.87618177 110.758667 50.201518
    Oben rechts KachelX + 1 52932 KachelY 22169 1.93319929 0.87618177 110.764160 50.201518
    Unten links KachelX 52931 KachelY + 1 22170 1.93310341 0.87612040 110.758667 50.198001
    Unten rechts KachelX + 1 52932 KachelY + 1 22170 1.93319929 0.87612040 110.764160 50.198001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87618177-0.87612040) × R
    6.13699999999495e-05 × 6371000     		dl = 390.988269999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87618177-0.87612040) × R
    6.13699999999495e-05 × 6371000     		dr = 390.988269999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93310341-1.93319929) × cos(0.87618177) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.640089350888067 × 6371000     		do = 390.999527321959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93310341-1.93319929) × cos(0.87612040) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.640136500282931 × 6371000     		du = 391.028328599592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87618177)-sin(0.87612040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640089350888067-0.640136500282931)×R²
    abs(1.93319929-1.93310341)×4.71493948638324e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.71493948638324e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.71493948638324e-05×40589641000000     		ar = 152881.859287319m²