Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 52928 / 21696
↖ ↑ ↗
← N 51.835778°
E110.742187°		 ← 377.46 m → N 51.835778°
E110.747681°		 →
↑
377.48 m
↓
↑
377.48 m
↓
N 51.832383°
E110.742187°		 ← 377.48 m →
142 488 m²		 N 51.832383°
E110.747681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807624816894531 y=0.331062316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807624816894531 × 216)
    floor (0.807624816894531 × 65536)
    floor (52928.5)     		tx = 52928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331062316894531 × 216)
    floor (0.331062316894531 × 65536)
    floor (21696.5)     		ty = 21696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52928 / 21696 ti = "16/52928/21696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52928/21696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52928 ÷ 216
    52928 ÷ 65536     		x = 0.8076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21696 ÷ 216
    21696 ÷ 65536     		y = 0.3310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8076171875 × 2 - 1) × π
    0.615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93281579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3310546875 × 2 - 1) × π
    0.337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06151470518652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93281579} λ = 1.93281579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06151470518652))-π/2
    2×atan(2.89074630319445)-π/2
    2×1.23775065741965-π/2
    2.47550131483931-1.57079632675     		φ = 0.90470499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93281579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.742187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90470499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.835778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52928 KachelY 21696 1.93281579 0.90470499 110.742187 51.835778
    Oben rechts KachelX + 1 52929 KachelY 21696 1.93291167 0.90470499 110.747681 51.835778
    Unten links KachelX 52928 KachelY + 1 21697 1.93281579 0.90464574 110.742187 51.832383
    Unten rechts KachelX + 1 52929 KachelY + 1 21697 1.93291167 0.90464574 110.747681 51.832383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90470499-0.90464574) × R
    5.92500000000662e-05 × 6371000     		dl = 377.481750000422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90470499-0.90464574) × R
    5.92500000000662e-05 × 6371000     		dr = 377.481750000422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93281579-1.93291167) × cos(0.90470499) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.617917556336133 × 6371000     		do = 377.455853805663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93281579-1.93291167) × cos(0.90464574) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.617964140143152 × 6371000     		du = 377.484309593125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90470499)-sin(0.90464574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617917556336133-0.617964140143152)×R²
    abs(1.93291167-1.93281579)×4.65838070193847e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.65838070193847e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.65838070193847e-05×40589641000000     		ar = 142488.067054232m²