Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52928 / 11723
↖ ↑ ↗
← N 81.330291°
W 34.628906°		 ← 46.04 m → N 81.330291°
W 34.626159°		 →
↑
46 m
↓
↑
46 m
↓
N 81.329877°
W 34.628906°		 ← 46.04 m →
2 118 m²		 N 81.329877°
W 34.626159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403812408447266 y=0.0894432067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403812408447266 × 217)
    floor (0.403812408447266 × 131072)
    floor (52928.5)     		tx = 52928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0894432067871094 × 217)
    floor (0.0894432067871094 × 131072)
    floor (11723.5)     		ty = 11723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52928 / 11723 ti = "17/52928/11723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52928/11723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52928 ÷ 217
    52928 ÷ 131072     		x = 0.40380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11723 ÷ 217
    11723 ÷ 131072     		y = 0.0894393920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40380859375 × 2 - 1) × π
    -0.1923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60438843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0894393920898438 × 2 - 1) × π
    0.821121215820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.57962837925408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60438843} λ = -0.60438843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57962837925408))-π/2
    2×atan(13.1922347404941)-π/2
    2×1.49513884548333-π/2
    2.99027769096666-1.57079632675     		φ = 1.41948136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60438843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.628906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41948136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.330291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52928 KachelY 11723 -0.60438843 1.41948136 -34.628906 81.330291
    Oben rechts KachelX + 1 52929 KachelY 11723 -0.60434049 1.41948136 -34.626159 81.330291
    Unten links KachelX 52928 KachelY + 1 11724 -0.60438843 1.41947414 -34.628906 81.329877
    Unten rechts KachelX + 1 52929 KachelY + 1 11724 -0.60434049 1.41947414 -34.626159 81.329877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41948136-1.41947414) × R
    7.22000000008549e-06 × 6371000     		dl = 45.9986200005447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41948136-1.41947414) × R
    7.22000000008549e-06 × 6371000     		dr = 45.9986200005447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60438843--0.60434049) × cos(1.41948136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150738204034601 × 6371000     		do = 46.0393275135089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60438843--0.60434049) × cos(1.41947414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150745341532909 × 6371000     		du = 46.0415074892112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41948136)-sin(1.41947414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150738204034601-0.150745341532909)×R²
    abs(-0.60434049--0.60438843)×7.13749830752453e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.13749830752453e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.13749830752453e-06×40589641000000     		ar = 2117.79566935166m²