Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52924 / 102234
↖ ↑ ↗
← S 70.460697°
W 34.639893°		 ← 102.15 m → S 70.460697°
W 34.637146°		 →
↑
102.13 m
↓
↑
102.13 m
↓
S 70.461615°
W 34.639893°		 ← 102.15 m →
10 432 m²		 S 70.461615°
W 34.637146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403781890869141 y=0.779987335205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403781890869141 × 217)
    floor (0.403781890869141 × 131072)
    floor (52924.5)     		tx = 52924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779987335205078 × 217)
    floor (0.779987335205078 × 131072)
    floor (102234.5)     		ty = 102234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52924 / 102234 ti = "17/52924/102234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52924/102234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52924 ÷ 217
    52924 ÷ 131072     		x = 0.403778076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102234 ÷ 217
    102234 ÷ 131072     		y = 0.779983520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.19244384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60458018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779983520507812 × 2 - 1) × π
    -0.559967041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75918834225682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60458018} λ = -0.60458018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75918834225682))-π/2
    2×atan(0.172184562054853)-π/2
    2×0.170512589410262-π/2
    0.341025178820525-1.57079632675     		φ = -1.22977115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60458018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.639893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22977115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.460697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52924 KachelY 102234 -0.60458018 -1.22977115 -34.639893 -70.460697
    Oben rechts KachelX + 1 52925 KachelY 102234 -0.60453224 -1.22977115 -34.637146 -70.460697
    Unten links KachelX 52924 KachelY + 1 102235 -0.60458018 -1.22978718 -34.639893 -70.461615
    Unten rechts KachelX + 1 52925 KachelY + 1 102235 -0.60453224 -1.22978718 -34.637146 -70.461615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22977115--1.22978718) × R
    1.60300000000557e-05 × 6371000     		dl = 102.127130000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22977115--1.22978718) × R
    1.60300000000557e-05 × 6371000     		dr = 102.127130000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60458018--0.60453224) × cos(-1.22977115) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334453406932539 × 6371000     		do = 102.150679307825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60458018--0.60453224) × cos(-1.22978718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334438300020609 × 6371000     		du = 102.14606526807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22977115)-sin(-1.22978718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334453406932539-0.334438300020609)×R²
    abs(-0.60453224--0.60458018)×1.51069119299074e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51069119299074e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51069119299074e-05×40589641000000     		ar = 10432.1200961055m²