Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52923 / 11734
↖ ↑ ↗
← N 81.325736°
W 34.642639°		 ← 46.05 m → N 81.325736°
W 34.639893°		 →
↑
46.06 m
↓
↑
46.06 m
↓
N 81.325322°
W 34.642639°		 ← 46.06 m →
2 121 m²		 N 81.325322°
W 34.639893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403774261474609 y=0.0895271301269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403774261474609 × 217)
    floor (0.403774261474609 × 131072)
    floor (52923.5)     		tx = 52923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0895271301269531 × 217)
    floor (0.0895271301269531 × 131072)
    floor (11734.5)     		ty = 11734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52923 / 11734 ti = "17/52923/11734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52923/11734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52923 ÷ 217
    52923 ÷ 131072     		x = 0.403770446777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11734 ÷ 217
    11734 ÷ 131072     		y = 0.0895233154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403770446777344 × 2 - 1) × π
    -0.192459106445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.60462811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0895233154296875 × 2 - 1) × π
    0.820953369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.57910107335826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60462811} λ = -0.60462811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57910107335826))-π/2
    2×atan(13.1852802310744)-π/2
    2×1.49509909255228-π/2
    2.99019818510457-1.57079632675     		φ = 1.41940186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60462811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.642639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41940186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.325736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52923 KachelY 11734 -0.60462811 1.41940186 -34.642639 81.325736
    Oben rechts KachelX + 1 52924 KachelY 11734 -0.60458018 1.41940186 -34.639893 81.325736
    Unten links KachelX 52923 KachelY + 1 11735 -0.60462811 1.41939463 -34.642639 81.325322
    Unten rechts KachelX + 1 52924 KachelY + 1 11735 -0.60458018 1.41939463 -34.639893 81.325322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41940186-1.41939463) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dl = 46.0623300001575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41940186-1.41939463) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dr = 46.0623300001575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60462811--0.60458018) × cos(1.41940186) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150816795168664 × 6371000     		do = 46.0537227308257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60462811--0.60458018) × cos(1.41939463) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150823942466031 × 6371000     		du = 46.0559052440587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41940186)-sin(1.41939463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150816795168664-0.150823942466031)×R²
    abs(-0.60458018--0.60462811)×7.14729736703279e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.14729736703279e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.14729736703279e-06×40589641000000     		ar = 2121.39204010556m²