Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52923 / 11461
↖ ↑ ↗
← N 81.438092°
W 34.642639°		 ← 45.46 m → N 81.438092°
W 34.639893°		 →
↑
45.49 m
↓
↑
45.49 m
↓
N 81.437683°
W 34.642639°		 ← 45.46 m →
2 068 m²		 N 81.437683°
W 34.639893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403774261474609 y=0.0874443054199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403774261474609 × 217)
    floor (0.403774261474609 × 131072)
    floor (52923.5)     		tx = 52923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0874443054199219 × 217)
    floor (0.0874443054199219 × 131072)
    floor (11461.5)     		ty = 11461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52923 / 11461 ti = "17/52923/11461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52923/11461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52923 ÷ 217
    52923 ÷ 131072     		x = 0.403770446777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11461 ÷ 217
    11461 ÷ 131072     		y = 0.0874404907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403770446777344 × 2 - 1) × π
    -0.192459106445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.60462811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0874404907226562 × 2 - 1) × π
    0.825119018554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.59218784695454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60462811} λ = -0.60462811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59218784695454))-π/2
    2×atan(13.3589670293188)-π/2
    2×1.49607958850085-π/2
    2.9921591770017-1.57079632675     		φ = 1.42136285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60462811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.642639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42136285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.438092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52923 KachelY 11461 -0.60462811 1.42136285 -34.642639 81.438092
    Oben rechts KachelX + 1 52924 KachelY 11461 -0.60458018 1.42136285 -34.639893 81.438092
    Unten links KachelX 52923 KachelY + 1 11462 -0.60462811 1.42135571 -34.642639 81.437683
    Unten rechts KachelX + 1 52924 KachelY + 1 11462 -0.60458018 1.42135571 -34.639893 81.437683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42136285-1.42135571) × R
    7.13999999990556e-06 × 6371000     		dl = 45.4889399993983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42136285-1.42135571) × R
    7.13999999990556e-06 × 6371000     		dr = 45.4889399993983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60462811--0.60458018) × cos(1.42136285) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148877946762403 × 6371000     		do = 45.461672045627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60462811--0.60458018) × cos(1.42135571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148885007187445 × 6371000     		du = 45.4638280313505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42136285)-sin(1.42135571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148877946762403-0.148885007187445)×R²
    abs(-0.60458018--0.60462811)×7.06042504211579e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.06042504211579e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.06042504211579e-06×40589641000000     		ar = 2068.05230870204m²