Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52923 / 102240
↖ ↑ ↗
← S 70.466207°
W 34.642639°		 ← 102.10 m → S 70.466207°
W 34.639893°		 →
↑
102.13 m
↓
↑
102.13 m
↓
S 70.467126°
W 34.642639°		 ← 102.10 m →
10 427 m²		 S 70.467126°
W 34.639893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403774261474609 y=0.780033111572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403774261474609 × 217)
    floor (0.403774261474609 × 131072)
    floor (52923.5)     		tx = 52923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780033111572266 × 217)
    floor (0.780033111572266 × 131072)
    floor (102240.5)     		ty = 102240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52923 / 102240 ti = "17/52923/102240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52923/102240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52923 ÷ 217
    52923 ÷ 131072     		x = 0.403770446777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102240 ÷ 217
    102240 ÷ 131072     		y = 0.780029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403770446777344 × 2 - 1) × π
    -0.192459106445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.60462811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780029296875 × 2 - 1) × π
    -0.56005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75947596365454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60462811} λ = -0.60462811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75947596365454))-π/2
    2×atan(0.172135045211842)-π/2
    2×0.170464497949956-π/2
    0.340928995899911-1.57079632675     		φ = -1.22986733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60462811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.642639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22986733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.466207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52923 KachelY 102240 -0.60462811 -1.22986733 -34.642639 -70.466207
    Oben rechts KachelX + 1 52924 KachelY 102240 -0.60458018 -1.22986733 -34.639893 -70.466207
    Unten links KachelX 52923 KachelY + 1 102241 -0.60462811 -1.22988336 -34.642639 -70.467126
    Unten rechts KachelX + 1 52924 KachelY + 1 102241 -0.60458018 -1.22988336 -34.639893 -70.467126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22986733--1.22988336) × R
    1.60300000000557e-05 × 6371000     		dl = 102.127130000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22986733--1.22988336) × R
    1.60300000000557e-05 × 6371000     		dr = 102.127130000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60462811--0.60458018) × cos(-1.22986733) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334362764171974 × 6371000     		do = 102.101692424028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60462811--0.60458018) × cos(-1.22988336) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334347656744477 × 6371000     		du = 102.097079189299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22986733)-sin(-1.22988336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334362764171974-0.334347656744477)×R²
    abs(-0.60458018--0.60462811)×1.51074274971075e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51074274971075e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51074274971075e-05×40589641000000     		ar = 10427.1172473262m²