Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52919 / 102258
↖ ↑ ↗
← S 70.482731°
W 34.653625°		 ← 102.02 m → S 70.482731°
W 34.650879°		 →
↑
102.06 m
↓
↑
102.06 m
↓
S 70.483649°
W 34.653625°		 ← 102.01 m →
10 412 m²		 S 70.483649°
W 34.650879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403743743896484 y=0.780170440673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403743743896484 × 217)
    floor (0.403743743896484 × 131072)
    floor (52919.5)     		tx = 52919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780170440673828 × 217)
    floor (0.780170440673828 × 131072)
    floor (102258.5)     		ty = 102258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52919 / 102258 ti = "17/52919/102258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52919/102258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52919 ÷ 217
    52919 ÷ 131072     		x = 0.403739929199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102258 ÷ 217
    102258 ÷ 131072     		y = 0.780166625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403739929199219 × 2 - 1) × π
    -0.192520141601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.60481986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780166625976562 × 2 - 1) × π
    -0.560333251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7603388278477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60481986} λ = -0.60481986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7603388278477))-π/2
    2×atan(0.171986580106764)-π/2
    2×0.170320301762184-π/2
    0.340640603524368-1.57079632675     		φ = -1.23015572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60481986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.653625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23015572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.482731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52919 KachelY 102258 -0.60481986 -1.23015572 -34.653625 -70.482731
    Oben rechts KachelX + 1 52920 KachelY 102258 -0.60477193 -1.23015572 -34.650879 -70.482731
    Unten links KachelX 52919 KachelY + 1 102259 -0.60481986 -1.23017174 -34.653625 -70.483649
    Unten rechts KachelX + 1 52920 KachelY + 1 102259 -0.60477193 -1.23017174 -34.650879 -70.483649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23015572--1.23017174) × R
    1.60200000001165e-05 × 6371000     		dl = 102.063420000742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23015572--1.23017174) × R
    1.60200000001165e-05 × 6371000     		dr = 102.063420000742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60481986--0.60477193) × cos(-1.23015572) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334090958716441 × 6371000     		do = 102.018693358361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60481986--0.60477193) × cos(-1.23017174) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334075859169346 × 6371000     		du = 102.014082530008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23015572)-sin(-1.23017174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334090958716441-0.334075859169346)×R²
    abs(-0.60477193--0.60481986)×1.50995470948878e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50995470948878e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50995470948878e-05×40589641000000     		ar = 10412.1414499609m²