Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 52916 / 21877
↖ ↑ ↗
← N 51.217207°
E110.676270°		 ← 382.58 m → N 51.217207°
E110.681763°		 →
↑
382.58 m
↓
↑
382.58 m
↓
N 51.213766°
E110.676270°		 ← 382.61 m →
146 372 m²		 N 51.213766°
E110.681763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807441711425781 y=0.333824157714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807441711425781 × 216)
    floor (0.807441711425781 × 65536)
    floor (52916.5)     		tx = 52916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333824157714844 × 216)
    floor (0.333824157714844 × 65536)
    floor (21877.5)     		ty = 21877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52916 / 21877 ti = "16/52916/21877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52916/21877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52916 ÷ 216
    52916 ÷ 65536     		x = 0.80743408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21877 ÷ 216
    21877 ÷ 65536     		y = 0.333816528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80743408203125 × 2 - 1) × π
    0.6148681640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.93166531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333816528320312 × 2 - 1) × π
    0.332366943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04416154752406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93166531} λ = 1.93166531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04416154752406))-π/2
    2×atan(2.84101546829848)-π/2
    2×1.23235260961864-π/2
    2.46470521923728-1.57079632675     		φ = 0.89390889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93166531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.676270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89390889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.217207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52916 KachelY 21877 1.93166531 0.89390889 110.676270 51.217207
    Oben rechts KachelX + 1 52917 KachelY 21877 1.93176118 0.89390889 110.681763 51.217207
    Unten links KachelX 52916 KachelY + 1 21878 1.93166531 0.89384884 110.676270 51.213766
    Unten rechts KachelX + 1 52917 KachelY + 1 21878 1.93176118 0.89384884 110.681763 51.213766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89390889-0.89384884) × R
    6.00499999999782e-05 × 6371000     		dl = 382.578549999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89390889-0.89384884) × R
    6.00499999999782e-05 × 6371000     		dr = 382.578549999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93166531-1.93176118) × cos(0.89390889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626369737806121 × 6371000     		do = 382.578975350077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93166531-1.93176118) × cos(0.89384884) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626416547219476 × 6371000     		du = 382.607565967275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89390889)-sin(0.89384884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626369737806121-0.626416547219476)×R²
    abs(1.93176118-1.93166531)×4.68094133543318e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68094133543318e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68094133543318e-05×40589641000000     		ar = 146371.978772295m²