Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52916 / 102254
↖ ↑ ↗
← S 70.479061°
W 34.661865°		 ← 102.04 m → S 70.479061°
W 34.659119°		 →
↑
102 m
↓
↑
102 m
↓
S 70.479978°
W 34.661865°		 ← 102.03 m →
10 408 m²		 S 70.479978°
W 34.659119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403720855712891 y=0.780139923095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403720855712891 × 217)
    floor (0.403720855712891 × 131072)
    floor (52916.5)     		tx = 52916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780139923095703 × 217)
    floor (0.780139923095703 × 131072)
    floor (102254.5)     		ty = 102254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52916 / 102254 ti = "17/52916/102254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52916/102254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52916 ÷ 217
    52916 ÷ 131072     		x = 0.403717041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102254 ÷ 217
    102254 ÷ 131072     		y = 0.780136108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403717041015625 × 2 - 1) × π
    -0.19256591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60496367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780136108398438 × 2 - 1) × π
    -0.560272216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76014708024922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60496367} λ = -0.60496367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76014708024922))-π/2
    2×atan(0.1720195612824)-π/2
    2×0.170352335225986-π/2
    0.340704670451972-1.57079632675     		φ = -1.23009166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60496367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.661865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23009166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.479061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52916 KachelY 102254 -0.60496367 -1.23009166 -34.661865 -70.479061
    Oben rechts KachelX + 1 52917 KachelY 102254 -0.60491574 -1.23009166 -34.659119 -70.479061
    Unten links KachelX 52916 KachelY + 1 102255 -0.60496367 -1.23010767 -34.661865 -70.479978
    Unten rechts KachelX + 1 52917 KachelY + 1 102255 -0.60491574 -1.23010767 -34.659119 -70.479978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23009166--1.23010767) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dl = 101.999709999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23009166--1.23010767) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dr = 101.999709999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60496367--0.60491574) × cos(-1.23009166) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.33415133719698 × 6371000     		do = 102.03713065351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60496367--0.60491574) × cos(-1.23010767) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.334136247418014 × 6371000     		du = 102.032522807973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23009166)-sin(-1.23010767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33415133719698-0.334136247418014)×R²
    abs(-0.60491574--0.60496367)×1.50897789657489e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.50897789657489e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.50897789657489e-05×40589641000000     		ar = 10407.5227366637m²