Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 52915 / 22147
↖ ↑ ↗
← N 50.278809°
E110.670776°		 ← 390.37 m → N 50.278809°
E110.676270°		 →
↑
390.35 m
↓
↑
390.35 m
↓
N 50.275298°
E110.670776°		 ← 390.39 m →
152 385 m²		 N 50.275298°
E110.676270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807426452636719 y=0.337944030761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807426452636719 × 216)
    floor (0.807426452636719 × 65536)
    floor (52915.5)     		tx = 52915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337944030761719 × 216)
    floor (0.337944030761719 × 65536)
    floor (22147.5)     		ty = 22147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52915 / 22147 ti = "16/52915/22147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52915/22147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52915 ÷ 216
    52915 ÷ 65536     		x = 0.807418823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22147 ÷ 216
    22147 ÷ 65536     		y = 0.337936401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807418823242188 × 2 - 1) × π
    0.614837646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93156943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337936401367188 × 2 - 1) × π
    0.324127197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01827562172923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93156943} λ = 1.93156943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01827562172923))-π/2
    2×atan(2.76841684782402)-π/2
    2×1.22416354530172-π/2
    2.44832709060345-1.57079632675     		φ = 0.87753076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93156943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.670776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87753076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.278809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52915 KachelY 22147 1.93156943 0.87753076 110.670776 50.278809
    Oben rechts KachelX + 1 52916 KachelY 22147 1.93166531 0.87753076 110.676270 50.278809
    Unten links KachelX 52915 KachelY + 1 22148 1.93156943 0.87746949 110.670776 50.275298
    Unten rechts KachelX + 1 52916 KachelY + 1 22148 1.93166531 0.87746949 110.676270 50.275298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87753076-0.87746949) × R
    6.12700000000022e-05 × 6371000     		dl = 390.351170000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87753076-0.87746949) × R
    6.12700000000022e-05 × 6371000     		dr = 390.351170000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93156943-1.93166531) × cos(0.87753076) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.639052339133115 × 6371000     		do = 390.366067157573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93156943-1.93166531) × cos(0.87746949) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.639099464566016 × 6371000     		du = 390.394853798006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87753076)-sin(0.87746949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639052339133115-0.639099464566016)×R²
    abs(1.93166531-1.93156943)×4.71254329001969e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.71254329001969e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.71254329001969e-05×40589641000000     		ar = 152385.46954058m²