Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52912 / 94384
↖ ↑ ↗
← S 61.835414°
W 34.672852°		 ← 144.16 m → S 61.835414°
W 34.670105°		 →
↑
144.11 m
↓
↑
144.11 m
↓
S 61.836710°
W 34.672852°		 ← 144.16 m →
20 775 m²		 S 61.836710°
W 34.670105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403690338134766 y=0.720096588134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403690338134766 × 217)
    floor (0.403690338134766 × 131072)
    floor (52912.5)     		tx = 52912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720096588134766 × 217)
    floor (0.720096588134766 × 131072)
    floor (94384.5)     		ty = 94384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52912 / 94384 ti = "17/52912/94384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52912/94384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52912 ÷ 217
    52912 ÷ 131072     		x = 0.4036865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94384 ÷ 217
    94384 ÷ 131072     		y = 0.7200927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.192626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60515542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7200927734375 × 2 - 1) × π
    -0.440185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.38288368023938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60515542} λ = -0.60515542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38288368023938))-π/2
    2×atan(0.250854125967696)-π/2
    2×0.245782384692905-π/2
    0.491564769385809-1.57079632675     		φ = -1.07923156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60515542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.672852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07923156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.835414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52912 KachelY 94384 -0.60515542 -1.07923156 -34.672852 -61.835414
    Oben rechts KachelX + 1 52913 KachelY 94384 -0.60510748 -1.07923156 -34.670105 -61.835414
    Unten links KachelX 52912 KachelY + 1 94385 -0.60515542 -1.07925418 -34.672852 -61.836710
    Unten rechts KachelX + 1 52913 KachelY + 1 94385 -0.60510748 -1.07925418 -34.670105 -61.836710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07923156--1.07925418) × R
    2.26199999999732e-05 × 6371000     		dl = 144.112019999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07923156--1.07925418) × R
    2.26199999999732e-05 × 6371000     		dr = 144.112019999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60515542--0.60510748) × cos(-1.07923156) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.472005956604462 × 6371000     		do = 144.162768580231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60515542--0.60510748) × cos(-1.07925418) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.47198601479669 × 6371000     		du = 144.156677838835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07923156)-sin(-1.07925418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472005956604462-0.47198601479669)×R²
    abs(-0.60510748--0.60515542)×1.99418077721503e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99418077721503e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99418077721503e-05×40589641000000     		ar = 20775.1489153726m²