Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52911 / 94383
↖ ↑ ↗
← S 61.834117°
W 34.675598°		 ← 144.17 m → S 61.834117°
W 34.672852°		 →
↑
144.18 m
↓
↑
144.18 m
↓
S 61.835414°
W 34.675598°		 ← 144.16 m →
20 785 m²		 S 61.835414°
W 34.672852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403682708740234 y=0.720088958740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403682708740234 × 217)
    floor (0.403682708740234 × 131072)
    floor (52911.5)     		tx = 52911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720088958740234 × 217)
    floor (0.720088958740234 × 131072)
    floor (94383.5)     		ty = 94383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52911 / 94383 ti = "17/52911/94383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52911/94383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52911 ÷ 217
    52911 ÷ 131072     		x = 0.403678894042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94383 ÷ 217
    94383 ÷ 131072     		y = 0.720085144042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403678894042969 × 2 - 1) × π
    -0.192642211914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.60520336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720085144042969 × 2 - 1) × π
    -0.440170288085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.38283574333976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60520336} λ = -0.60520336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38283574333976))-π/2
    2×atan(0.250866151424981)-π/2
    2×0.245793698183097-π/2
    0.491587396366194-1.57079632675     		φ = -1.07920893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60520336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.675598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07920893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.834117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52911 KachelY 94383 -0.60520336 -1.07920893 -34.675598 -61.834117
    Oben rechts KachelX + 1 52912 KachelY 94383 -0.60515542 -1.07920893 -34.672852 -61.834117
    Unten links KachelX 52911 KachelY + 1 94384 -0.60520336 -1.07923156 -34.675598 -61.835414
    Unten rechts KachelX + 1 52912 KachelY + 1 94384 -0.60515542 -1.07923156 -34.672852 -61.835414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07920893--1.07923156) × R
    2.26299999999124e-05 × 6371000     		dl = 144.175729999442m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07920893--1.07923156) × R
    2.26299999999124e-05 × 6371000     		dr = 144.175729999442m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60520336--0.60515542) × cos(-1.07920893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.472025906986572 × 6371000     		do = 144.16886194045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60520336--0.60515542) × cos(-1.07923156) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.472005956604462 × 6371000     		du = 144.162768580231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07920893)-sin(-1.07923156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472025906986572-0.472005956604462)×R²
    abs(-0.60515542--0.60520336)×1.99503821102232e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99503821102232e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99503821102232e-05×40589641000000     		ar = 20785.2116568512m²