Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52909 / 21683
↖ ↑ ↗
← N 51.879882°
E110.637817°		 ← 377.05 m → N 51.879882°
E110.643310°		 →
↑
377.10 m
↓
↑
377.10 m
↓
N 51.876491°
E110.637817°		 ← 377.08 m →
142 189 m²		 N 51.876491°
E110.643310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807334899902344 y=0.330863952636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807334899902344 × 216)
    floor (0.807334899902344 × 65536)
    floor (52909.5)     		tx = 52909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330863952636719 × 216)
    floor (0.330863952636719 × 65536)
    floor (21683.5)     		ty = 21683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52909 / 21683 ti = "16/52909/21683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52909/21683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52909 ÷ 216
    52909 ÷ 65536     		x = 0.807327270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21683 ÷ 216
    21683 ÷ 65536     		y = 0.330856323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807327270507812 × 2 - 1) × π
    0.614654541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.93099419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330856323242188 × 2 - 1) × π
    0.338287353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06276106457664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93099419} λ = 1.93099419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06276106457664))-π/2
    2×atan(2.89435145818659)-π/2
    2×1.23813554244375-π/2
    2.47627108488751-1.57079632675     		φ = 0.90547476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93099419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.637817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90547476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.879882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52909 KachelY 21683 1.93099419 0.90547476 110.637817 51.879882
    Oben rechts KachelX + 1 52910 KachelY 21683 1.93109006 0.90547476 110.643310 51.879882
    Unten links KachelX 52909 KachelY + 1 21684 1.93099419 0.90541557 110.637817 51.876491
    Unten rechts KachelX + 1 52910 KachelY + 1 21684 1.93109006 0.90541557 110.643310 51.876491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90547476-0.90541557) × R
    5.91900000000978e-05 × 6371000     		dl = 377.099490000623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90547476-0.90541557) × R
    5.91900000000978e-05 × 6371000     		dr = 377.099490000623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93099419-1.93109006) × cos(0.90547476) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.617312147128607 × 6371000     		do = 377.046709738586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93099419-1.93109006) × cos(0.90541557) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.617358711904502 × 6371000     		du = 377.075150934215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90547476)-sin(0.90541557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617312147128607-0.617358711904502)×R²
    abs(1.93109006-1.93099419)×4.65647758948196e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65647758948196e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65647758948196e-05×40589641000000     		ar = 142189.484570575m²