Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52908 / 21684
↖ ↑ ↗
← N 51.876491°
E110.632324°		 ← 377.08 m → N 51.876491°
E110.637817°		 →
↑
377.10 m
↓
↑
377.10 m
↓
N 51.873100°
E110.632324°		 ← 377.10 m →
142 200 m²		 N 51.873100°
E110.637817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807319641113281 y=0.330879211425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807319641113281 × 216)
    floor (0.807319641113281 × 65536)
    floor (52908.5)     		tx = 52908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330879211425781 × 216)
    floor (0.330879211425781 × 65536)
    floor (21684.5)     		ty = 21684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52908 / 21684 ti = "16/52908/21684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52908/21684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52908 ÷ 216
    52908 ÷ 65536     		x = 0.80731201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21684 ÷ 216
    21684 ÷ 65536     		y = 0.33087158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80731201171875 × 2 - 1) × π
    0.6146240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93089832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33087158203125 × 2 - 1) × π
    0.3382568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0626651907774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93089832} λ = 1.93089832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0626651907774))-π/2
    2×atan(2.89407397901766)-π/2
    2×1.23810594929724-π/2
    2.47621189859448-1.57079632675     		φ = 0.90541557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93089832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.632324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90541557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.876491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52908 KachelY 21684 1.93089832 0.90541557 110.632324 51.876491
    Oben rechts KachelX + 1 52909 KachelY 21684 1.93099419 0.90541557 110.637817 51.876491
    Unten links KachelX 52908 KachelY + 1 21685 1.93089832 0.90535638 110.632324 51.873100
    Unten rechts KachelX + 1 52909 KachelY + 1 21685 1.93099419 0.90535638 110.637817 51.873100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90541557-0.90535638) × R
    5.91899999999868e-05 × 6371000     		dl = 377.099489999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90541557-0.90535638) × R
    5.91899999999868e-05 × 6371000     		dr = 377.099489999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93089832-1.93099419) × cos(0.90541557) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.617358711904502 × 6371000     		do = 377.075150934215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93089832-1.93099419) × cos(0.90535638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.617405274517508 × 6371000     		du = 377.103590808778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90541557)-sin(0.90535638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617358711904502-0.617405274517508)×R²
    abs(1.93099419-1.93089832)×4.65626130056185e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65626130056185e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65626130056185e-05×40589641000000     		ar = 142200.209481607m²