Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52907 / 102237
↖ ↑ ↗
← S 70.463452°
W 34.686585°		 ← 102.14 m → S 70.463452°
W 34.683838°		 →
↑
102.13 m
↓
↑
102.13 m
↓
S 70.464370°
W 34.686585°		 ← 102.13 m →
10 431 m²		 S 70.464370°
W 34.683838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403652191162109 y=0.780010223388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403652191162109 × 217)
    floor (0.403652191162109 × 131072)
    floor (52907.5)     		tx = 52907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780010223388672 × 217)
    floor (0.780010223388672 × 131072)
    floor (102237.5)     		ty = 102237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52907 / 102237 ti = "17/52907/102237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52907/102237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52907 ÷ 217
    52907 ÷ 131072     		x = 0.403648376464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102237 ÷ 217
    102237 ÷ 131072     		y = 0.780006408691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403648376464844 × 2 - 1) × π
    -0.192703247070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.60539511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780006408691406 × 2 - 1) × π
    -0.560012817382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.75933215295568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60539511} λ = -0.60539511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75933215295568))-π/2
    2×atan(0.172159801853085)-π/2
    2×0.170488542050635-π/2
    0.340977084101269-1.57079632675     		φ = -1.22981924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60539511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.686585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22981924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.463452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52907 KachelY 102237 -0.60539511 -1.22981924 -34.686585 -70.463452
    Oben rechts KachelX + 1 52908 KachelY 102237 -0.60534717 -1.22981924 -34.683838 -70.463452
    Unten links KachelX 52907 KachelY + 1 102238 -0.60539511 -1.22983527 -34.686585 -70.464370
    Unten rechts KachelX + 1 52908 KachelY + 1 102238 -0.60534717 -1.22983527 -34.683838 -70.464370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22981924--1.22983527) × R
    1.60299999998337e-05 × 6371000     		dl = 102.12712999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22981924--1.22983527) × R
    1.60299999998337e-05 × 6371000     		dr = 102.12712999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60539511--0.60534717) × cos(-1.22981924) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334408085938941 × 6371000     		do = 102.136837109818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60539511--0.60534717) × cos(-1.22983527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33439297876921 × 6371000     		du = 102.132222991323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22981924)-sin(-1.22983527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334408085938941-0.33439297876921)×R²
    abs(-0.60534717--0.60539511)×1.51071697307437e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51071697307437e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51071697307437e-05×40589641000000     		ar = 10430.7064280395m²