Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52904 / 21736
↖ ↑ ↗
← N 51.699800°
E110.610351°		 ← 378.59 m → N 51.699800°
E110.615845°		 →
↑
378.56 m
↓
↑
378.56 m
↓
N 51.696395°
E110.610351°		 ← 378.62 m →
143 328 m²		 N 51.696395°
E110.615845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807258605957031 y=0.331672668457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807258605957031 × 216)
    floor (0.807258605957031 × 65536)
    floor (52904.5)     		tx = 52904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331672668457031 × 216)
    floor (0.331672668457031 × 65536)
    floor (21736.5)     		ty = 21736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52904 / 21736 ti = "16/52904/21736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52904/21736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52904 ÷ 216
    52904 ÷ 65536     		x = 0.8072509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21736 ÷ 216
    21736 ÷ 65536     		y = 0.3316650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8072509765625 × 2 - 1) × π
    0.614501953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93051482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3316650390625 × 2 - 1) × π
    0.336669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05767975321692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93051482} λ = 1.93051482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05767975321692))-π/2
    2×atan(2.87968165971405)-π/2
    2×1.23656402838811-π/2
    2.47312805677623-1.57079632675     		φ = 0.90233173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93051482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.610351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90233173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.699800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52904 KachelY 21736 1.93051482 0.90233173 110.610351 51.699800
    Oben rechts KachelX + 1 52905 KachelY 21736 1.93061070 0.90233173 110.615845 51.699800
    Unten links KachelX 52904 KachelY + 1 21737 1.93051482 0.90227231 110.610351 51.696395
    Unten rechts KachelX + 1 52905 KachelY + 1 21737 1.93061070 0.90227231 110.615845 51.696395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90233173-0.90227231) × R
    5.94200000000322e-05 × 6371000     		dl = 378.564820000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90233173-0.90227231) × R
    5.94200000000322e-05 × 6371000     		dr = 378.564820000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93051482-1.93061070) × cos(0.90233173) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.619781773235797 × 6371000     		do = 378.594613457863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93051482-1.93061070) × cos(0.90227231) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.619828403424915 × 6371000     		du = 378.623097577898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90233173)-sin(0.90227231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619781773235797-0.619828403424915)×R²
    abs(1.93061070-1.93051482)×4.66301891183241e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.66301891183241e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.66301891183241e-05×40589641000000     		ar = 143327.993281698m²