Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52904 / 102243
↖ ↑ ↗
← S 70.468962°
W 34.694824°		 ← 102.11 m → S 70.468962°
W 34.692078°		 →
↑
102.13 m
↓
↑
102.13 m
↓
S 70.469881°
W 34.694824°		 ← 102.10 m →
10 428 m²		 S 70.469881°
W 34.692078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403629302978516 y=0.780055999755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403629302978516 × 217)
    floor (0.403629302978516 × 131072)
    floor (52904.5)     		tx = 52904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780055999755859 × 217)
    floor (0.780055999755859 × 131072)
    floor (102243.5)     		ty = 102243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52904 / 102243 ti = "17/52904/102243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52904/102243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52904 ÷ 217
    52904 ÷ 131072     		x = 0.40362548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102243 ÷ 217
    102243 ÷ 131072     		y = 0.780052185058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40362548828125 × 2 - 1) × π
    -0.1927490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60553892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780052185058594 × 2 - 1) × π
    -0.560104370117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.7596197743534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60553892} λ = -0.60553892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7596197743534))-π/2
    2×atan(0.172110292130614)-π/2
    2×0.170440457107839-π/2
    0.340880914215678-1.57079632675     		φ = -1.22991541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60553892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.694824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22991541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.468962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52904 KachelY 102243 -0.60553892 -1.22991541 -34.694824 -70.468962
    Oben rechts KachelX + 1 52905 KachelY 102243 -0.60549098 -1.22991541 -34.692078 -70.468962
    Unten links KachelX 52904 KachelY + 1 102244 -0.60553892 -1.22993144 -34.694824 -70.469881
    Unten rechts KachelX + 1 52905 KachelY + 1 102244 -0.60549098 -1.22993144 -34.692078 -70.469881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22991541--1.22993144) × R
    1.60300000000557e-05 × 6371000     		dl = 102.127130000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22991541--1.22993144) × R
    1.60300000000557e-05 × 6371000     		dr = 102.127130000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60553892--0.60549098) × cos(-1.22991541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334317451056349 × 6371000     		do = 102.109154883732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60553892--0.60549098) × cos(-1.22993144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334302343371175 × 6371000     		du = 102.104540607808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22991541)-sin(-1.22993144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334317451056349-0.334302343371175)×R²
    abs(-0.60549098--0.60553892)×1.51076851746534e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51076851746534e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51076851746534e-05×40589641000000     		ar = 10427.8793139914m²