Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52903 / 102242
↖ ↑ ↗
← S 70.468044°
W 34.697571°		 ← 102.09 m → S 70.468044°
W 34.694824°		 →
↑
102.06 m
↓
↑
102.06 m
↓
S 70.468962°
W 34.697571°		 ← 102.09 m →
10 420 m²		 S 70.468962°
W 34.694824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403621673583984 y=0.780048370361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403621673583984 × 217)
    floor (0.403621673583984 × 131072)
    floor (52903.5)     		tx = 52903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780048370361328 × 217)
    floor (0.780048370361328 × 131072)
    floor (102242.5)     		ty = 102242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52903 / 102242 ti = "17/52903/102242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52903/102242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52903 ÷ 217
    52903 ÷ 131072     		x = 0.403617858886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102242 ÷ 217
    102242 ÷ 131072     		y = 0.780044555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403617858886719 × 2 - 1) × π
    -0.192764282226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.60558685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780044555664062 × 2 - 1) × π
    -0.560089111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75957183745378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60558685} λ = -0.60558685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75957183745378))-π/2
    2×atan(0.172118542762164)-π/2
    2×0.170448470359839-π/2
    0.340896940719678-1.57079632675     		φ = -1.22989939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60558685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.697571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22989939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.468044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52903 KachelY 102242 -0.60558685 -1.22989939 -34.697571 -70.468044
    Oben rechts KachelX + 1 52904 KachelY 102242 -0.60553892 -1.22989939 -34.694824 -70.468044
    Unten links KachelX 52903 KachelY + 1 102243 -0.60558685 -1.22991541 -34.697571 -70.468962
    Unten rechts KachelX + 1 52904 KachelY + 1 102243 -0.60553892 -1.22991541 -34.694824 -70.468962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22989939--1.22991541) × R
    1.60200000001165e-05 × 6371000     		dl = 102.063420000742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22989939--1.22991541) × R
    1.60200000001165e-05 × 6371000     		dr = 102.063420000742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60558685--0.60553892) × cos(-1.22989939) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334332549231066 × 6371000     		do = 102.092465928336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60558685--0.60553892) × cos(-1.22991541) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334317451056349 × 6371000     		du = 102.087855519055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22989939)-sin(-1.22991541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334332549231066-0.334317451056349)×R²
    abs(-0.60553892--0.60558685)×1.50981747165102e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50981747165102e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50981747165102e-05×40589641000000     		ar = 10419.6709520231m²