Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52902 / 102246
↖ ↑ ↗
← S 70.471717°
W 34.700317°		 ← 102.10 m → S 70.471717°
W 34.697571°		 →
↑
102.06 m
↓
↑
102.06 m
↓
S 70.472635°
W 34.700317°		 ← 102.09 m →
10 420 m²		 S 70.472635°
W 34.697571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403614044189453 y=0.780078887939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403614044189453 × 217)
    floor (0.403614044189453 × 131072)
    floor (52902.5)     		tx = 52902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780078887939453 × 217)
    floor (0.780078887939453 × 131072)
    floor (102246.5)     		ty = 102246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52902 / 102246 ti = "17/52902/102246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52902/102246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52902 ÷ 217
    52902 ÷ 131072     		x = 0.403610229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102246 ÷ 217
    102246 ÷ 131072     		y = 0.780075073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403610229492188 × 2 - 1) × π
    -0.192779541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60563479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780075073242188 × 2 - 1) × π
    -0.560150146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75976358505226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60563479} λ = -0.60563479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75976358505226))-π/2
    2×atan(0.172085542608887)-π/2
    2×0.170416419523899-π/2
    0.340832839047798-1.57079632675     		φ = -1.22996349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60563479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.700317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22996349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.471717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52902 KachelY 102246 -0.60563479 -1.22996349 -34.700317 -70.471717
    Oben rechts KachelX + 1 52903 KachelY 102246 -0.60558685 -1.22996349 -34.697571 -70.471717
    Unten links KachelX 52902 KachelY + 1 102247 -0.60563479 -1.22997951 -34.700317 -70.472635
    Unten rechts KachelX + 1 52903 KachelY + 1 102247 -0.60558685 -1.22997951 -34.697571 -70.472635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22996349--1.22997951) × R
    1.60199999998945e-05 × 6371000     		dl = 102.063419999328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22996349--1.22997951) × R
    1.60199999998945e-05 × 6371000     		dr = 102.063419999328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60563479--0.60558685) × cos(-1.22996349) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334272137167887 × 6371000     		do = 102.095314855817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60563479--0.60558685) × cos(-1.22997951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33425703864989 × 6371000     		du = 102.090703379784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22996349)-sin(-1.22997951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334272137167887-0.33425703864989)×R²
    abs(-0.60558685--0.60563479)×1.5098517997636e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5098517997636e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5098517997636e-05×40589641000000     		ar = 10419.9616687554m²