Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52899 / 22157
↖ ↑ ↗
← N 50.243692°
E110.582886°		 ← 390.65 m → N 50.243692°
E110.588379°		 →
↑
390.61 m
↓
↑
390.61 m
↓
N 50.240179°
E110.582886°		 ← 390.68 m →
152 597 m²		 N 50.240179°
E110.588379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807182312011719 y=0.338096618652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807182312011719 × 216)
    floor (0.807182312011719 × 65536)
    floor (52899.5)     		tx = 52899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338096618652344 × 216)
    floor (0.338096618652344 × 65536)
    floor (22157.5)     		ty = 22157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52899 / 22157 ti = "16/52899/22157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52899/22157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52899 ÷ 216
    52899 ÷ 65536     		x = 0.807174682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22157 ÷ 216
    22157 ÷ 65536     		y = 0.338088989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807174682617188 × 2 - 1) × π
    0.614349365234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93003545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338088989257812 × 2 - 1) × π
    0.323822021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01731688373683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93003545} λ = 1.93003545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01731688373683))-π/2
    2×atan(2.76576393334137)-π/2
    2×1.22385709046397-π/2
    2.44771418092795-1.57079632675     		φ = 0.87691785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93003545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.582886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87691785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.243692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52899 KachelY 22157 1.93003545 0.87691785 110.582886 50.243692
    Oben rechts KachelX + 1 52900 KachelY 22157 1.93013133 0.87691785 110.588379 50.243692
    Unten links KachelX 52899 KachelY + 1 22158 1.93003545 0.87685654 110.582886 50.240179
    Unten rechts KachelX + 1 52900 KachelY + 1 22158 1.93013133 0.87685654 110.588379 50.240179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87691785-0.87685654) × R
    6.13099999999811e-05 × 6371000     		dl = 390.60600999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87691785-0.87685654) × R
    6.13099999999811e-05 × 6371000     		dr = 390.60600999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93003545-1.93013133) × cos(0.87691785) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.63952364691946 × 6371000     		do = 390.653966215494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93003545-1.93013133) × cos(0.87685654) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.639570779093585 × 6371000     		du = 390.682756973813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87691785)-sin(0.87685654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63952364691946-0.639570779093585)×R²
    abs(1.93013133-1.93003545)×4.71321741245534e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.71321741245534e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.71321741245534e-05×40589641000000     		ar = 152597.410003633m²