Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52885 / 48499
↖ ↑ ↗
← S 65.042015°
E110.505981°		 ← 257.72 m → S 65.042015°
E110.511474°		 →
↑
257.77 m
↓
↑
257.77 m
↓
S 65.044333°
E110.505981°		 ← 257.70 m →
66 431 m²		 S 65.044333°
E110.511474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806968688964844 y=0.740043640136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806968688964844 × 216)
    floor (0.806968688964844 × 65536)
    floor (52885.5)     		tx = 52885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740043640136719 × 216)
    floor (0.740043640136719 × 65536)
    floor (48499.5)     		ty = 48499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52885 / 48499 ti = "16/52885/48499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52885/48499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52885 ÷ 216
    52885 ÷ 65536     		x = 0.806961059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48499 ÷ 216
    48499 ÷ 65536     		y = 0.740036010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806961059570312 × 2 - 1) × π
    0.613922119140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.92869322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740036010742188 × 2 - 1) × π
    -0.480072021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50819073584621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92869322} λ = 1.92869322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50819073584621))-π/2
    2×atan(0.221310024249294)-π/2
    2×0.217799507132837-π/2
    0.435599014265675-1.57079632675     		φ = -1.13519731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92869322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.505981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13519731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.042015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52885 KachelY 48499 1.92869322 -1.13519731 110.505981 -65.042015
    Oben rechts KachelX + 1 52886 KachelY 48499 1.92878909 -1.13519731 110.511474 -65.042015
    Unten links KachelX 52885 KachelY + 1 48500 1.92869322 -1.13523777 110.505981 -65.044333
    Unten rechts KachelX + 1 52886 KachelY + 1 48500 1.92878909 -1.13523777 110.511474 -65.044333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13519731--1.13523777) × R
    4.04600000001309e-05 × 6371000     		dl = 257.770660000834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13519731--1.13523777) × R
    4.04600000001309e-05 × 6371000     		dr = 257.770660000834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92869322-1.92878909) × cos(-1.13519731) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421953556114813 × 6371000     		do = 257.724071582931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92869322-1.92878909) × cos(-1.13523777) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421916874027517 × 6371000     		du = 257.701666612633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13519731)-sin(-1.13523777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421953556114813-0.421916874027517)×R²
    abs(1.92878909-1.92869322)×3.66820872956808e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66820872956808e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66820872956808e-05×40589641000000     		ar = 66430.8163670315m²