Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52879 / 12948
↖ ↑ ↗
← N 80.808120°
W 34.763489°		 ← 48.79 m → N 80.808120°
W 34.760742°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
N 80.807681°
W 34.763489°		 ← 48.79 m →
2 381 m²		 N 80.807681°
W 34.760742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403438568115234 y=0.0987892150878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403438568115234 × 217)
    floor (0.403438568115234 × 131072)
    floor (52879.5)     		tx = 52879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0987892150878906 × 217)
    floor (0.0987892150878906 × 131072)
    floor (12948.5)     		ty = 12948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52879 / 12948 ti = "17/52879/12948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52879/12948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52879 ÷ 217
    52879 ÷ 131072     		x = 0.403434753417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12948 ÷ 217
    12948 ÷ 131072     		y = 0.098785400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403434753417969 × 2 - 1) × π
    -0.193130493164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.60673734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098785400390625 × 2 - 1) × π
    0.80242919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52090567721951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60673734} λ = -0.60673734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52090567721951))-π/2
    2×atan(12.4398580592713)-π/2
    2×1.49058204319376-π/2
    2.98116408638753-1.57079632675     		φ = 1.41036776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60673734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.763489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41036776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.808120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52879 KachelY 12948 -0.60673734 1.41036776 -34.763489 80.808120
    Oben rechts KachelX + 1 52880 KachelY 12948 -0.60668940 1.41036776 -34.760742 80.808120
    Unten links KachelX 52879 KachelY + 1 12949 -0.60673734 1.41036010 -34.763489 80.807681
    Unten rechts KachelX + 1 52880 KachelY + 1 12949 -0.60668940 1.41036010 -34.760742 80.807681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41036776-1.41036010) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dl = 48.8018600004838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41036776-1.41036010) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dr = 48.8018600004838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60673734--0.60668940) × cos(1.41036776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159741284803018 × 6371000     		do = 48.7891001194805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60673734--0.60668940) × cos(1.41036010) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159748846435614 × 6371000     		du = 48.7914096367119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41036776)-sin(1.41036010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159741284803018-0.159748846435614)×R²
    abs(-0.60668940--0.60673734)×7.56163259649223e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.56163259649223e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.56163259649223e-06×40589641000000     		ar = 2381.05518798553m²