Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52873 / 12941
↖ ↑ ↗
← N 80.811191°
W 34.779968°		 ← 48.77 m → N 80.811191°
W 34.777222°		 →
↑
48.74 m
↓
↑
48.74 m
↓
N 80.810752°
W 34.779968°		 ← 48.78 m →
2 377 m²		 N 80.810752°
W 34.777222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403392791748047 y=0.0987358093261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403392791748047 × 217)
    floor (0.403392791748047 × 131072)
    floor (52873.5)     		tx = 52873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0987358093261719 × 217)
    floor (0.0987358093261719 × 131072)
    floor (12941.5)     		ty = 12941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52873 / 12941 ti = "17/52873/12941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52873/12941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52873 ÷ 217
    52873 ÷ 131072     		x = 0.403388977050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12941 ÷ 217
    12941 ÷ 131072     		y = 0.0987319946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403388977050781 × 2 - 1) × π
    -0.193222045898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.60702496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0987319946289062 × 2 - 1) × π
    0.802536010742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.52124123551685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60702496} λ = -0.60702496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52124123551685))-π/2
    2×atan(12.4440330572992)-π/2
    2×1.49060884001213-π/2
    2.98121768002426-1.57079632675     		φ = 1.41042135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60702496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.779968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41042135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.811191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52873 KachelY 12941 -0.60702496 1.41042135 -34.779968 80.811191
    Oben rechts KachelX + 1 52874 KachelY 12941 -0.60697702 1.41042135 -34.777222 80.811191
    Unten links KachelX 52873 KachelY + 1 12942 -0.60702496 1.41041370 -34.779968 80.810752
    Unten rechts KachelX + 1 52874 KachelY + 1 12942 -0.60697702 1.41041370 -34.777222 80.810752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41042135-1.41041370) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dl = 48.7381499994564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41042135-1.41041370) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dr = 48.7381499994564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60702496--0.60697702) × cos(1.41042135) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159688382727451 × 6371000     		do = 48.7729424639028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60702496--0.60697702) × cos(1.41041370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159695934553949 × 6371000     		du = 48.7752489860994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41042135)-sin(1.41041370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159688382727451-0.159695934553949)×R²
    abs(-0.60697702--0.60702496)×7.5518264982255e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.5518264982255e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.5518264982255e-06×40589641000000     		ar = 2377.15919354474m²