Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52872 / 21645
↖ ↑ ↗
← N 52.008555°
E110.434570°		 ← 375.97 m → N 52.008555°
E110.440063°		 →
↑
376.02 m
↓
↑
376.02 m
↓
N 52.005174°
E110.434570°		 ← 376 m →
141 375 m²		 N 52.005174°
E110.440063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806770324707031 y=0.330284118652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806770324707031 × 216)
    floor (0.806770324707031 × 65536)
    floor (52872.5)     		tx = 52872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330284118652344 × 216)
    floor (0.330284118652344 × 65536)
    floor (21645.5)     		ty = 21645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52872 / 21645 ti = "16/52872/21645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52872/21645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52872 ÷ 216
    52872 ÷ 65536     		x = 0.8067626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21645 ÷ 216
    21645 ÷ 65536     		y = 0.330276489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8067626953125 × 2 - 1) × π
    0.613525390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.92744686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330276489257812 × 2 - 1) × π
    0.339447021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06640426894777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92744686} λ = 1.92744686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06640426894777))-π/2
    2×atan(2.9049154036923)-π/2
    2×1.23925842869366-π/2
    2.47851685738732-1.57079632675     		φ = 0.90772053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92744686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.434570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90772053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.008555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52872 KachelY 21645 1.92744686 0.90772053 110.434570 52.008555
    Oben rechts KachelX + 1 52873 KachelY 21645 1.92754273 0.90772053 110.440063 52.008555
    Unten links KachelX 52872 KachelY + 1 21646 1.92744686 0.90766151 110.434570 52.005174
    Unten rechts KachelX + 1 52873 KachelY + 1 21646 1.92754273 0.90766151 110.440063 52.005174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90772053-0.90766151) × R
    5.90200000000207e-05 × 6371000     		dl = 376.016420000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90772053-0.90766151) × R
    5.90200000000207e-05 × 6371000     		dr = 376.016420000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92744686-1.92754273) × cos(0.90772053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.615543803514134 × 6371000     		do = 375.966627085708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92744686-1.92754273) × cos(0.90766151) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61559031626189 × 6371000     		du = 375.995036503186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90772053)-sin(0.90766151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615543803514134-0.61559031626189)×R²
    abs(1.92754273-1.92744686)×4.65127477565774e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65127477565774e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65127477565774e-05×40589641000000     		ar = 141374.966401367m²