Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52872 / 12937
↖ ↑ ↗
← N 80.812945°
W 34.782715°		 ← 48.76 m → N 80.812945°
W 34.779968°		 →
↑
48.74 m
↓
↑
48.74 m
↓
N 80.812507°
W 34.782715°		 ← 48.77 m →
2 377 m²		 N 80.812507°
W 34.779968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403385162353516 y=0.0987052917480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403385162353516 × 217)
    floor (0.403385162353516 × 131072)
    floor (52872.5)     		tx = 52872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0987052917480469 × 217)
    floor (0.0987052917480469 × 131072)
    floor (12937.5)     		ty = 12937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52872 / 12937 ti = "17/52872/12937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52872/12937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52872 ÷ 217
    52872 ÷ 131072     		x = 0.40338134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12937 ÷ 217
    12937 ÷ 131072     		y = 0.0987014770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40338134765625 × 2 - 1) × π
    -0.1932373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60707290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0987014770507812 × 2 - 1) × π
    0.802597045898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.52143298311533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60707290} λ = -0.60707290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52143298311533))-π/2
    2×atan(12.4464193995338)-π/2
    2×1.49062414849488-π/2
    2.98124829698975-1.57079632675     		φ = 1.41045197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60707290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.782715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41045197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.812945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52872 KachelY 12937 -0.60707290 1.41045197 -34.782715 80.812945
    Oben rechts KachelX + 1 52873 KachelY 12937 -0.60702496 1.41045197 -34.779968 80.812945
    Unten links KachelX 52872 KachelY + 1 12938 -0.60707290 1.41044432 -34.782715 80.812507
    Unten rechts KachelX + 1 52873 KachelY + 1 12938 -0.60702496 1.41044432 -34.779968 80.812507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41045197-1.41044432) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dl = 48.7381499994564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41045197-1.41044432) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dr = 48.7381499994564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60707290--0.60702496) × cos(1.41045197) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.159658155584561 × 6371000     		do = 48.7637103165306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60707290--0.60702496) × cos(1.41044432) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.159665707448462 × 6371000     		du = 48.7660168501511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41045197)-sin(1.41044432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159658155584561-0.159665707448462)×R²
    abs(-0.60702496--0.60707290)×7.55186390144491e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.55186390144491e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.55186390144491e-06×40589641000000     		ar = 2376.7092360911m²