Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52867 / 26501
↖ ↑ ↗
← N 32.523658°
E110.407104°		 ← 515 m → N 32.523658°
E110.412597°		 →
↑
515.03 m
↓
↑
515.03 m
↓
N 32.519026°
E110.407104°		 ← 515.02 m →
265 247 m²		 N 32.519026°
E110.412597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806694030761719 y=0.404380798339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806694030761719 × 216)
    floor (0.806694030761719 × 65536)
    floor (52867.5)     		tx = 52867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404380798339844 × 216)
    floor (0.404380798339844 × 65536)
    floor (26501.5)     		ty = 26501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52867 / 26501 ti = "16/52867/26501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52867/26501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52867 ÷ 216
    52867 ÷ 65536     		x = 0.806686401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26501 ÷ 216
    26501 ÷ 65536     		y = 0.404373168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806686401367188 × 2 - 1) × π
    0.613372802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.92696749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404373168945312 × 2 - 1) × π
    0.191253662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.600841099837784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92696749} λ = 1.92696749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.600841099837784))-π/2
    2×atan(1.82365202892669)-π/2
    2×1.06922062022818-π/2
    2.13844124045635-1.57079632675     		φ = 0.56764491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92696749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.407104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56764491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.523658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52867 KachelY 26501 1.92696749 0.56764491 110.407104 32.523658
    Oben rechts KachelX + 1 52868 KachelY 26501 1.92706336 0.56764491 110.412597 32.523658
    Unten links KachelX 52867 KachelY + 1 26502 1.92696749 0.56756407 110.407104 32.519026
    Unten rechts KachelX + 1 52868 KachelY + 1 26502 1.92706336 0.56756407 110.412597 32.519026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56764491-0.56756407) × R
    8.08399999999709e-05 × 6371000     		dl = 515.031639999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56764491-0.56756407) × R
    8.08399999999709e-05 × 6371000     		dr = 515.031639999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92696749-1.92706336) × cos(0.56764491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.843169521249815 × 6371000     		do = 514.997631616131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92696749-1.92706336) × cos(0.56756407) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.843212981942938 × 6371000     		du = 515.024176875966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56764491)-sin(0.56756407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.843169521249815-0.843212981942938)×R²
    abs(1.92706336-1.92696749)×4.34606931233317e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.34606931233317e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.34606931233317e-05×40589641000000     		ar = 265246.910776217m²