Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52864 / 12928
↖ ↑ ↗
← N 80.816891°
W 34.804687°		 ← 48.73 m → N 80.816891°
W 34.801941°		 →
↑
48.74 m
↓
↑
48.74 m
↓
N 80.816453°
W 34.804687°		 ← 48.74 m →
2 375 m²		 N 80.816453°
W 34.801941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403324127197266 y=0.0986366271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403324127197266 × 217)
    floor (0.403324127197266 × 131072)
    floor (52864.5)     		tx = 52864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0986366271972656 × 217)
    floor (0.0986366271972656 × 131072)
    floor (12928.5)     		ty = 12928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52864 / 12928 ti = "17/52864/12928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52864/12928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52864 ÷ 217
    52864 ÷ 131072     		x = 0.4033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12928 ÷ 217
    12928 ÷ 131072     		y = 0.0986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4033203125 × 2 - 1) × π
    -0.193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60745639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0986328125 × 2 - 1) × π
    0.802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52186441521191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60745639} λ = -0.60745639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52186441521191))-π/2
    2×atan(12.4517903428656)-π/2
    2×1.49065858198811-π/2
    2.98131716397622-1.57079632675     		φ = 1.41052084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60745639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.804687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41052084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.816891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52864 KachelY 12928 -0.60745639 1.41052084 -34.804687 80.816891
    Oben rechts KachelX + 1 52865 KachelY 12928 -0.60740846 1.41052084 -34.801941 80.816891
    Unten links KachelX 52864 KachelY + 1 12929 -0.60745639 1.41051319 -34.804687 80.816453
    Unten rechts KachelX + 1 52865 KachelY + 1 12929 -0.60740846 1.41051319 -34.801941 80.816453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41052084-1.41051319) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dl = 48.7381499994564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41052084-1.41051319) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dr = 48.7381499994564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60745639--0.60740846) × cos(1.41052084) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.159590168645371 × 6371000     		do = 48.7327778655099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60745639--0.60740846) × cos(1.41051319) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.159597720593374 × 6371000     		du = 48.7350839436823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41052084)-sin(1.41051319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159590168645371-0.159597720593374)×R²
    abs(-0.60740846--0.60745639)×7.55194800228232e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.55194800228232e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.55194800228232e-06×40589641000000     		ar = 2375.20163438146m²