Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52859 / 22109
↖ ↑ ↗
← N 50.412018°
E110.363159°		 ← 389.23 m → N 50.412018°
E110.368652°		 →
↑
389.27 m
↓
↑
389.27 m
↓
N 50.408517°
E110.363159°		 ← 389.26 m →
151 521 m²		 N 50.408517°
E110.368652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806571960449219 y=0.337364196777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806571960449219 × 216)
    floor (0.806571960449219 × 65536)
    floor (52859.5)     		tx = 52859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337364196777344 × 216)
    floor (0.337364196777344 × 65536)
    floor (22109.5)     		ty = 22109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52859 / 22109 ti = "16/52859/22109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52859/22109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52859 ÷ 216
    52859 ÷ 65536     		x = 0.806564331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22109 ÷ 216
    22109 ÷ 65536     		y = 0.337356567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806564331054688 × 2 - 1) × π
    0.613128662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.92620050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337356567382812 × 2 - 1) × π
    0.325286865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02191882610036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92620050} λ = 1.92620050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02191882610036))-π/2
    2×atan(2.77852115102976)-π/2
    2×1.22532601387817-π/2
    2.45065202775635-1.57079632675     		φ = 0.87985570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92620050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.363159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87985570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.412018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52859 KachelY 22109 1.92620050 0.87985570 110.363159 50.412018
    Oben rechts KachelX + 1 52860 KachelY 22109 1.92629637 0.87985570 110.368652 50.412018
    Unten links KachelX 52859 KachelY + 1 22110 1.92620050 0.87979460 110.363159 50.408517
    Unten rechts KachelX + 1 52860 KachelY + 1 22110 1.92629637 0.87979460 110.368652 50.408517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87985570-0.87979460) × R
    6.11000000000361e-05 × 6371000     		dl = 389.26810000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87985570-0.87979460) × R
    6.11000000000361e-05 × 6371000     		dr = 389.26810000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92620050-1.92629637) × cos(0.87985570) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637262355184883 × 6371000     		do = 389.232052828314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92620050-1.92629637) × cos(0.87979460) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637309440522757 × 6371000     		du = 389.260811976834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87985570)-sin(0.87979460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637262355184883-0.637309440522757)×R²
    abs(1.92629637-1.92620050)×4.70853378744529e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70853378744529e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70853378744529e-05×40589641000000     		ar = 151521.219220228m²