Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52846 / 26214
↖ ↑ ↗
← N 33.843045°
E110.291748°		 ← 507.30 m → N 33.843045°
E110.297241°		 →
↑
507.32 m
↓
↑
507.32 m
↓
N 33.838483°
E110.291748°		 ← 507.33 m →
257 372 m²		 N 33.838483°
E110.297241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806373596191406 y=0.400001525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806373596191406 × 216)
    floor (0.806373596191406 × 65536)
    floor (52846.5)     		tx = 52846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400001525878906 × 216)
    floor (0.400001525878906 × 65536)
    floor (26214.5)     		ty = 26214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52846 / 26214 ti = "16/52846/26214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52846/26214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52846 ÷ 216
    52846 ÷ 65536     		x = 0.806365966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26214 ÷ 216
    26214 ÷ 65536     		y = 0.399993896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806365966796875 × 2 - 1) × π
    0.61273193359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.92495414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.399993896484375 × 2 - 1) × π
    0.20001220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.628356880219696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92495414} λ = 1.92495414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.628356880219696))-π/2
    2×atan(1.87452797342071)-π/2
    2×1.08073444821196-π/2
    2.16146889642392-1.57079632675     		φ = 0.59067257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92495414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.291748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59067257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.843045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52846 KachelY 26214 1.92495414 0.59067257 110.291748 33.843045
    Oben rechts KachelX + 1 52847 KachelY 26214 1.92505001 0.59067257 110.297241 33.843045
    Unten links KachelX 52846 KachelY + 1 26215 1.92495414 0.59059294 110.291748 33.838483
    Unten rechts KachelX + 1 52847 KachelY + 1 26215 1.92505001 0.59059294 110.297241 33.838483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59067257-0.59059294) × R
    7.96299999999972e-05 × 6371000     		dl = 507.322729999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59067257-0.59059294) × R
    7.96299999999972e-05 × 6371000     		dr = 507.322729999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92495414-1.92505001) × cos(0.59067257) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.830566299457025 × 6371000     		do = 507.299737882497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92495414-1.92505001) × cos(0.59059294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.830610644344406 × 6371000     		du = 507.326823197372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59067257)-sin(0.59059294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830566299457025-0.830610644344406)×R²
    abs(1.92505001-1.92495414)×4.43448873813646e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43448873813646e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43448873813646e-05×40589641000000     		ar = 257371.558584881m²