Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52845 / 26213
↖ ↑ ↗
← N 33.847608°
E110.286255°		 ← 507.27 m → N 33.847608°
E110.291748°		 →
↑
507.32 m
↓
↑
507.32 m
↓
N 33.843045°
E110.286255°		 ← 507.30 m →
257 358 m²		 N 33.843045°
E110.291748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806358337402344 y=0.399986267089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806358337402344 × 216)
    floor (0.806358337402344 × 65536)
    floor (52845.5)     		tx = 52845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.399986267089844 × 216)
    floor (0.399986267089844 × 65536)
    floor (26213.5)     		ty = 26213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52845 / 26213 ti = "16/52845/26213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52845/26213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52845 ÷ 216
    52845 ÷ 65536     		x = 0.806350708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26213 ÷ 216
    26213 ÷ 65536     		y = 0.399978637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806350708007812 × 2 - 1) × π
    0.612701416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.92485827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.399978637695312 × 2 - 1) × π
    0.200042724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.628452754018936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92485827} λ = 1.92485827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.628452754018936))-π/2
    2×atan(1.87470770015471)-π/2
    2×1.08077426192233-π/2
    2.16154852384467-1.57079632675     		φ = 0.59075220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92485827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.286255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59075220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.847608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52845 KachelY 26213 1.92485827 0.59075220 110.286255 33.847608
    Oben rechts KachelX + 1 52846 KachelY 26213 1.92495414 0.59075220 110.291748 33.847608
    Unten links KachelX 52845 KachelY + 1 26214 1.92485827 0.59067257 110.286255 33.843045
    Unten rechts KachelX + 1 52846 KachelY + 1 26214 1.92495414 0.59067257 110.291748 33.843045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59075220-0.59067257) × R
    7.96299999999972e-05 × 6371000     		dl = 507.322729999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59075220-0.59067257) × R
    7.96299999999972e-05 × 6371000     		dr = 507.322729999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92485827-1.92495414) × cos(0.59075220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.830521949303075 × 6371000     		do = 507.272649350867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92485827-1.92495414) × cos(0.59067257) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.830566299457025 × 6371000     		du = 507.299737882497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59075220)-sin(0.59067257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830521949303075-0.830566299457025)×R²
    abs(1.92495414-1.92485827)×4.43501539497682e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43501539497682e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43501539497682e-05×40589641000000     		ar = 257357.816772611m²