Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52841 / 21692
↖ ↑ ↗
← N 51.849353°
E110.264282°		 ← 377.34 m → N 51.849353°
E110.269776°		 →
↑
377.35 m
↓
↑
377.35 m
↓
N 51.845959°
E110.264282°		 ← 377.37 m →
142 397 m²		 N 51.845959°
E110.269776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806297302246094 y=0.331001281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806297302246094 × 216)
    floor (0.806297302246094 × 65536)
    floor (52841.5)     		tx = 52841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331001281738281 × 216)
    floor (0.331001281738281 × 65536)
    floor (21692.5)     		ty = 21692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52841 / 21692 ti = "16/52841/21692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52841/21692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52841 ÷ 216
    52841 ÷ 65536     		x = 0.806289672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21692 ÷ 216
    21692 ÷ 65536     		y = 0.33099365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806289672851562 × 2 - 1) × π
    0.612579345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92447477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33099365234375 × 2 - 1) × π
    0.3380126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06189820038348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92447477} λ = 1.92447477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06189820038348))-π/2
    2×atan(2.89185510311349)-π/2
    2×1.23786912376542-π/2
    2.47573824753084-1.57079632675     		φ = 0.90494192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92447477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.264282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90494192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.849353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52841 KachelY 21692 1.92447477 0.90494192 110.264282 51.849353
    Oben rechts KachelX + 1 52842 KachelY 21692 1.92457065 0.90494192 110.269776 51.849353
    Unten links KachelX 52841 KachelY + 1 21693 1.92447477 0.90488269 110.264282 51.845959
    Unten rechts KachelX + 1 52842 KachelY + 1 21693 1.92457065 0.90488269 110.269776 51.845959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90494192-0.90488269) × R
    5.92299999999657e-05 × 6371000     		dl = 377.354329999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90494192-0.90488269) × R
    5.92299999999657e-05 × 6371000     		dr = 377.354329999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92447477-1.92457065) × cos(0.90494192) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.61773125446456 × 6371000     		do = 377.342051031686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92447477-1.92457065) × cos(0.90488269) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.617777831217935 × 6371000     		du = 377.370502510419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90494192)-sin(0.90488269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61773125446456-0.617777831217935)×R²
    abs(1.92457065-1.92447477)×4.65767533749384e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.65767533749384e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.65767533749384e-05×40589641000000     		ar = 142397.025033724m²