Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5284 / 3107
↖ ↑ ↗
← N 81.033482°
W121.948242°		 ← 190.39 m → N 81.033482°
W121.937256°		 →
↑
190.43 m
↓
↑
190.43 m
↓
N 81.031769°
W121.948242°		 ← 190.43 m →
36 260 m²		 N 81.031769°
W121.937256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161270141601562 y=0.0948333740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161270141601562 × 215)
    floor (0.161270141601562 × 32768)
    floor (5284.5)     		tx = 5284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0948333740234375 × 215)
    floor (0.0948333740234375 × 32768)
    floor (3107.5)     		ty = 3107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5284 / 3107 ti = "15/5284/3107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5284/3107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5284 ÷ 215
    5284 ÷ 32768     		x = 0.1612548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3107 ÷ 215
    3107 ÷ 32768     		y = 0.094818115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1612548828125 × 2 - 1) × π
    -0.677490234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12839834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.094818115234375 × 2 - 1) × π
    0.81036376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.54583286502194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12839834} λ = -2.12839834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54583286502194))-π/2
    2×atan(12.7538458959925)-π/2
    2×1.49254869253794-π/2
    2.98509738507588-1.57079632675     		φ = 1.41430106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12839834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.948242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41430106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.033482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5284 KachelY 3107 -2.12839834 1.41430106 -121.948242 81.033482
    Oben rechts KachelX + 1 5285 KachelY 3107 -2.12820660 1.41430106 -121.937256 81.033482
    Unten links KachelX 5284 KachelY + 1 3108 -2.12839834 1.41427117 -121.948242 81.031769
    Unten rechts KachelX + 1 5285 KachelY + 1 3108 -2.12820660 1.41427117 -121.937256 81.031769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41430106-1.41427117) × R
    2.98900000001989e-05 × 6371000     		dl = 190.429190001267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41430106-1.41427117) × R
    2.98900000001989e-05 × 6371000     		dr = 190.429190001267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12839834--2.12820660) × cos(1.41430106) × R
    0.000191739999999996 × 0.155857266992333 × 6371000     		do = 190.391425089079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12839834--2.12820660) × cos(1.41427117) × R
    0.000191739999999996 × 0.155886791654559 × 6371000     		du = 190.427491694282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41430106)-sin(1.41427117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155857266992333-0.155886791654559)×R²
    abs(-2.12820660--2.12839834)×2.95246622263046e-05×R²
    0.000191739999999996×2.95246622263046e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.95246622263046e-05×40589641000000     		ar = 36259.5189326192m²